Основы логических выражений
презентация к уроку по алгебре

Слайд 1

Логические выражения Выполнил: Абсалямова Г.М .

Слайд 2

Название логической операции Логическая связка Инверсия «не»; «неверно, что» Конъюнкция «и»; «а»; «но»; «хотя» Дизъюнкция «или» Основные логические операции

Слайд 3

Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Для записи конъюнкции используются следующие знаки: И,ˆ,⋅,&. Например : A И B , A ˆB , A ⋅B , A&B. Таблица истинности : Конъюнкция

Слайд 4

A = «Основоположником алгебры логики является Джордж Буль ». B = «Исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике ». А И В ↓ « Основоположником алгебры логики является Джордж Буль, и исследования Клода Шеннона позволили применить алгебру логики в вычислительной технике» И стинно только в том случае, когда одновременно истинны оба исходных высказывания. Пример конъюнкции

Слайд 5

Дизъюнкция — логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Для записи дизъюнкции используются следующие знаки: ИЛИ; ∨; |; +. Например : A ИЛИ B ; A∨ B; A | B; A+B . Таблица истинности : Дизъюнкция

Слайд 6

A = «Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу » B = «Лейбниц является основоположником бинарной арифметики » А ИЛИ В ↓ « Идея использования в логике математической символики принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу или Лейбниц является основоположником бинарной арифметики» Л ожно только в том случае, когда одновременно ложны оба исходных высказывания. Пример дизъюнкции

Слайд 7

Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ; ¬; − Например: НЕ А; ; А ¬ . Таблица истинности: Инверсия

Слайд 8

1. Отрицанием высказывания «У меня дома есть компьютер» будет высказывание «Неверно, что у меня дома есть компьютер» или, что в русском языке то же самое, что «У меня дома нет компьютера ». 2. Отрицанием высказывания «Я не знаю китайский язык» будет высказывание «Неверно, что я не знаю китайский язык» или, что в русском языке: «Я знаю китайский язык ». 3. Отрицанием высказывания «Все юноши 8− х классов — отличники» является высказывание «Неверно, что все юноши 8− х классов — отличники», другими словами, «Не все юноши 8− х классов — отличники». Примеры инверсии

Слайд 9

Логические операции в логическом выражении выполняются в следующей очерёдности: Инверсия → конъюнкция → дизъюнкция Изменить порядок выполнения операций можно с помощью расстановки скобок . Порядок выполнения ЛВ

Слайд 10

1. Переместительный (коммутативный) закон : для логического умножения: A&B=B&A; для логического сложения: A∨B=B∨A. 2. Сочетательный (ассоциативный) закон : для логического умножения: (A&B)&C=A&(B&C); для логического сложения: (A∨B)∨C=A∨(B∨C). При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. 3. Распределительный (дистрибутивный) закон : для логического умножения: A&(B∨C)=(A&B)∨(A&C); для логического сложения: A∨(B&C)=(A∨B)&(A∨C ). 4. Закон двойного отрицания : =A . Двойное отрицание исключает отрицание. Свойства логических операций

Слайд 11

5. Закон исключённого третьего : для логического умножения: A& =0 ; для логического сложения: A ∨ =1 . Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано. 6. Закон повторения : для логического умножения: A&A=A; для логического сложения: A∨A=A. 7. Законы операций с 0 и 1 : для логического умножения: A&0=0; A&1=A; для логического сложения: A∨0=A; A∨1=1. 8. Законы общей инверсии : для логического умножения: ∨ ; для логического сложения: Свойства логических операций

Слайд 12

Логические элементы

Слайд 13

Построим таблицу истинности для логического выражения А ∨ А & В Пример 1 A B A&B A∨A&B 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1

Слайд 14

А В 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 А В 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Пример 2

Слайд 15

Условие выбора- это логическое выражение, которое должно быть истинным для выбираемых записей БД. Основные понятия логики: 1. Логическая величина- это величина, принимающая одно из двух значений- ИСТИНА (TRUE) и ЛОЖЬ (FALSE). В базах данных поле логического типа- это логическая величина. 2 . Логическое выражение- это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Логическое выражение состоит из логических констант, логических переменных, операций отношения и логических операций . 3. Операции отношения сравнивают значения двух величин. Знаки операций отношения: = (равно), <> (не равно), > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно ).. Логические условия выбора данных

Слайд 16

4. Существуют три основные логические операции: отрицание — НЕ (NOT), конъюнкция — И (AND), дизъюнкция — ИЛИ (OR). 5 . По убыванию старшинства логические операции расположены в следующем порядке: НЕ, И, ИЛИ. Для влияния на последовательность выполнения операций в логических выражениях могут употребляться круглые скобки. Основные понятия логики A B НЕ A A И B А ИЛИ B ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ

Слайд 17

Система основных понятий

Слайд 18

Три подразделения А, В, С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения: 1.Если А получит максимальную прибыль, то максимальную прибыль получат В и С. 2.А и С получат или не получат максимальную прибыль одновременно. 3.Необходимым условием получения максимальной прибыли подразделением С является получение максимальной прибыли подразделением В. По завершении года оказалось, что одно из трёх предположений ложно, а остальные два истинны. Выясним , какие из названных подразделений получили максимальную прибыль. Рассмотрим элементарные высказывания: А — «А получит максимальную прибыль»; В — «В получит максимальную прибыль»; С — «С получит максимальную прибыль ». Пример 3

Слайд 19

Запишем на языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами : ; ; . Составим таблицу истинности для X1, X2, X3. Вспомним , что из трёх прогнозов X1, X2, X3 один оказался ложным, а два других — истинным. Эта ситуация соответствует четвёртой строке таблицы. Ответ: максимальную прибыль получили подразделения В и С. Пример 3 A B C X1 X2 X3 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1

Слайд 20

Логическая функция F задаётся выражением: ( ∧ y ∧ z) ∨ ( ∧ ). Приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z. Решение: Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка принимает 1 при наборе значений переменных (0, 1, 1). Вторая принимает 1 при двух наборах значений переменных: (0, 0, 0), (0, 1, 0). Из набора с нулями выводов не сделать, в остальных двух x оба раза 0, y оба раза 1. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: y, z, x. Пример 4 Перем . 1 Перем . 2 Перем . 3 Функция ? ? ? F 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

Слайд 21

Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому выражению: ( первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная )? 1) КРИСТИНА 2) МАКСИМ 3) СТЕПАН 4) МАРИЯ Решение : Разобьём выражение на 2 условия: «первая буква согласная → вторая буква согласная» и «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная». Условия связаны с помощью операции конъюнкция, поэтому должны выполняться одновременно. Оба условия есть не что иное, как импликация. Вспомним, что импликация ложна тогда, когда ее первая часть истинна, а вторая – ложна, поэтому удобнее будет проверить оба условия на ложность и отбросить ложные варианты. Первое условие ложно, если первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов МАКСИМ и МАРИЯ. Второе условие ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа СТЕПАН. Значит , для ответа КРИСТИНА оба условия истинны. Ответ: 1. Пример 5

Слайд 22

На числовой прямой даны два отрезка P =[2, 10] и Q=[6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула (( x A) → (x P)) ˅ (x Q) тождественно истина, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x. 1) [0, 3 ] ; 2) [3, 11 ] ; 3) [11, 15 ] ; 4) [15, 17 ] . Решение : Введем обозначения x A – A, x P – P, x Q – Q. Тогда (( x A) →( x P)) ˅ (x Q) = (A → P) ˅ Q = ¬A ˅ P ˅ Q = ¬A ˅ (P ˅ Q). Для последнего выражения вся числовая ось будет покрываться в том случае, если отрезок A полностью лежит в объединении отрезков P и Q [ 2, 14]. Очевидно, что это отрезок [3, 11 ]. Ответ: 2. Пример 6