Тригонометрия
консультация по алгебре

МАТЕМАТИКА

АЛГЕБРА

РАЗДЕЛ 2.   ТРИГОНОМЕТРИЯ

Методическое пособие для студентов

Раздел  2.    Тригонометрия

§ 1. Основные понятия тригонометрии

I.  Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:    

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу.

В самом деле:         Обозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол

α = = 2 радиан.   Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует    =  градусов:

И наоборот,      Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:    и от радианного измерения к градусному:      Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад   пишут просто 180° = π.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Таблица  1.1

Пример 1. 

Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.

II. Снова рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями.  Рассмотрим произвольный угол α. Изобразим его как угол поворота радиус-вектора   против часовой стрелки. При таком повороте точка A (R; 0) перейдёт в некоторую точку B (x; y) на этой окружности, при этом  ∠ AOB = α  (α может быть больше не только 180°, но и больше 360°).

- 1 -

Рисунок  1.1.  Окружность радиуса R

В зависимости от того, в какой четверти лежит точка B, угол α называется углом этой четверти.

Любого угла поворота отношение координат радиус-вектора к его длине не зависит от этой длины радиус-вектора. Следовательно, отношения    и    характеризуют не окружность, а лишь угол поворота. Значит, для того, чтобы рассмотреть основные свойства этих отношений, можно взять окружность любого радиуса, например, R = 1. Так мы и сделаем. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью.

Модель 1. Координатная окружность

III.  Ввиду всего вышесказанного, рассмотренные отношения    и пр. как характеристики только угла (но не окружности) удобно как-либо обозначить. Введём несколько ключевых определений.

   Косинусом угла α называется абсцисса x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.  

cos α = x.

- 2 -

Модель 2.  Функция y = cos x

Синусом угла α называется ордината y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.      sin α = y.

Модель 3. Функция y = sin x

Тангенсом угла α называется отношение ординаты y к абсциссе x точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.  

Модель 4. Функция y = tg x

- 3 -

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x к ординате y точки B − конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол α с осью абсцисс.

Модель 5. Функция y = ctg x

Ясно, что для данного угла α функции sin α, cos α, tg α и  ctg α, которые называются тригонометрическими функциями, определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности). Однако если функции sin α и  cos α определены для любого угла α, то функции tg α и  ctg α определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей   и  . Значит, tg α не определён для углов вида α =  +   где k  Z; ctg α не определён для углов вида α =    где k  Z.

Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус − абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:

Таблица 1.2. 

IV.    Вычисление тригонометрических функций некоторых углов

Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A, имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B (0; 1), C (–1; 0)  и  D (0; –1), что даёт:

- 4 -

Рисунок 1.2.  Вычисление углов

sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.

sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.

sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.

Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 1.3) называлось отношение проти-волежащего катета к гипотенузе:   .   Кроме того, в курсе геометрии было

доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.

Рисунок 1.3. Прямоугольный треугольник

Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:

Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.

Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна

Значит, рассматривая угол ABH, найдём, что        

- 5 -

Рисунок 1.4. Правильный треугольник

Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA = CB = 1, ∠ CAB = 45°. Тогда по теореме Пифагора АВ =  

∠ CAB = 45°   и       Следовательно, tg 45˚ = ctg 45˚ = 1.  

Пример 2.  Найдите значения выражений  cos 0˚ · sin 270˚  -  

Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.

Таблица 1.3.

V.   Периодические функции

Функция f называется периодической с периодом T ≠ 0, если для любого x из области определения функции выполнено:  

Если функция f имеет период T, то она, очевидно, имеет период nT, где  n .  

- 6 –

Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f. Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f (x) = C, где C − произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.

НПП функций  y = cos x  и  y = sin x является 2π.   А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = π.

    § 2. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

I.   Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида      можно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения.

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

– 7 -

Таблица 2.1.

Пример 1. 

Упростите выражение:  

II.   Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

Рисунок  2.2.

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:  

Но OA = 1,  OC = cos α,  CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы  Пифагора является равенство  

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

Отсюда следует, что

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на  cos 2 α  0.  Получим:

- 8 -

Разделим основное тригонометрическое тождество на  sin 2 α  0.  Получим:

Из определений тангенса и котангенса  

следует:

Пример 2. 

Найдите sin x  и  cos x, если  tg x =   и  

Решение.

Пример 3. 

Упростить выражение:

III.   Формулы сложения

  (1)

  (2)

   (3)

  (4)

    (5)

Формула (5) справедлива при:

    (6)

Эта формула (6) справедлива при:  

- 9 -

    (7)

Формула (7) справедлива при

    (8)

Эта формула (8) справедлива при  

Пример 4. 

Упростите выражения:    

IV.   Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы (1-8) сложения для  тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.

sin 2α = 2 sin α cos α;

- 00 -  

Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:                    

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента.                

Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5.   Вычислите tg x, если  

Решение

- 10 -

Пример 6.  Упростите выражение  

Решение 

V.   Универсальная подстановка

Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:

Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается

Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем:

Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто записывают в следующем виде:

Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические функции могут быть рационально выражены через  t =  tg   а именно:

Говорят, что замена  t =  tg     является универсальной подстановкой для основных тригонометрических функций.

 VI.    Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла

следуют формулы понижения степени:

- 11-

VII.   Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на  ,  то получатся формулы половинного аргумента:

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

VIII.   Преобразование произведения в сумму

Запишем формулы преобразовании произведения в сумму:

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.

IX.    Преобразование суммы в произведение

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.

Пример 7.     Упростите выражения  

§ 3.  Обратные тригонометрические функции

  Функция, осуществляющая взаимнооднозначное соответствие, называется обратимой; ещё говорят, что у функции f существует обратная функция. Такая функция обозначается f -1 и каждому элементу  y  Y  ставит в соответствие такой элемент x  X  что f (x) = y; этот факт записывают так:  x = f -1 (y).  Область определения обратной функции совпадает с областью значений самой функции: D(f -1) = E(f) =  Y.   Область значений обратной функции совпадает с множеством определения самой функции:     E(f -1) = D(f) = X.

- 12 -

Рассмотрим функцию f (x) = sin x для  x . Тогда  D(f ) =    E(f) =  При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения D(f -1) =    и областью значений E(f -1) =  Эта обратная функция называется арксинусом. Её обозначение: y = arcsin x. График функции y = arcsin x изображён на рисунке 3.1.

Аналогично, на промежутке D (f–1) = E (f) =  [–1; 1] можно определить функцию, обратную cos x, c областью значений E (f–1) = D (f) =  [0; π] Эта обратная функция называется арккосинусом. Её обозначение: y = arccos x. График функции y = arccos x изображён на рисунке 3.2.

Рисунок  3.1.   Арксинус        

                                                                        Рисунок   3.2.   Арккосинус  

Рассмотрим функцию f (x) = tg x для  x .  Тогда D(f ) =    E(f) = R.  При этом область определения выбрана так, что соответствие является взаимнооднозначным. Следовательно, существует обратная функция с областью определения D (f–1) = R  и областью значений   E(f -1) = =  Эта обратная функция называется арктангенсом. Её обозначение y = arctg x. График функции y = arctg x изображён на рисунке 3.3.

 Для построения арккотангенса выберем промежуток x  (0; π). Тогда  D(f) = (0;,  E(f) = R. Построим обратную функцию с областью определения  D (f–1) = E(f) = R    и областью значений      E(f -1) = D(f) = (0; Эта обратная функция называется арккотангенсом. Её обозначение y = arcctg x. График функции y = arcctg x изображён на рисунке 3.4.

- 13 -

Рисунок   3.3.  Арктангенс

Рисунок   3.4.  Арккотангенс

Итак, запись b = arcsin a обозначает, что b   и sin b = a. Аналогичные соотношения справедливы и для остальных обратных тригонометрических функций.

Пример 1.  Найти соотношение между

A (x) = arcsin (cos (arcsin x)) и B (x) = arccos (sin (arccos x)).

Решение

- 00 -