Один из подходов к изучению тригонометрии в 10 классе.

Мурзабаева Ф.М., учитель математики МОБУ СОШ №3 г. Баймака  Республики Башкортостан

Еще в 1905 г. русские читатели могли прочесть в книге Уильяма Джеймса «Психология» его рассуждения о том, «почему зубрение представляет такой дурной способ учения?»

«Знания, приобретенные путем простого зубрения, почти неизбежно забываются совершенно бесследно. Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами,  связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергший обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением».

С тех пор прошло более 100 лет, а слова эти поразительно остаются злободневными. В этом каждодневно убеждаешься, занимаясь со школьниками. Массовые пробелы в знаниях настолько велики, что можно утверждать: школьный курс математики в дидактическом и психологическом отношениях – не система, а некое устройство, поощряющее кратковременную память и нисколько не заботиться о памяти долговременной.

Знать школьный курс математики – значит владеть материалом каждого из направлений математики, быть в состоянии актуализировать любое из них в любое время. Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться каждому из них, что порой не всегда возможно из-за сильной загруженности на уроке.

Есть другой путь долговременного запоминания фактов и формул – это опорные сигналы.

Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.

Самый большой объем изучаемого материала по тригонометрии приходится на долю 10 класса. Большую часть этого материала из тригонометрии можно изучить и запомнить  на тригонометрическом круге (окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат). Приложение1.ppt

Это следующие понятия тригонометрии:

1. определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
2. радианное измерение углов;
3. область определения и область значений тригонометрических функций
4. значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
5. периодичность тригонометрических функций;
6. четность и нечетность тригонометрических функций;
7. возрастание и убывание тригонометрических функций;
8. формулы приведения;
9. значения обратных тригонометрических функций;
10. решение простейших тригонометрических уравнений;
11. решение простейших неравенств;
12. основные формулы тригонометрии.

Рассмотрим изучение этих понятий на тригонометрическом круге.

1) Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

После введения понятия тригонометрического круга (окружность единичного радиуса с центром в начале координат), начального радиуса (радиус окружности по направлению оси Ох), угла поворота, учащиеся самостоятельно получают определения  для синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге, используя определения из курса геометрии, то есть, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1.

Косинусом угла  называется абсцисса точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

Синусом угла  называется ордината точки на окружности при повороте начального радиуса  на данный угол.

2) Радианное измерение углов на тригонометрическом круге.

   После введения радианной меры угла (1 радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности), учащиеся делают вывод, что радианное измерение угла – это числовое значение угла поворота на окружности, равное длине соответствующей дуги при повороте начального радиуса на заданный угол. .

   Тригонометрический круг разделен на 12 равных частей диаметрами окружности. Зная, что угол радианам, можно определить радианное измерение для углов кратных .

и т.д.

А радианные измерения углов, кратных, получаются аналогично:

3) Область определения и область значений тригонометрических функций.

     Будет ли соответствие углов поворота и значений координат точки на окружности функцией?

     Каждому углу поворота соответствует единственная точка на окружности, значит данное соответствие – функция.

     Получаем функции

     На тригонометрическом круге видно, что область определения функций – множество всех действительных чисел, а область значений - .

    Введем понятия линий тангенсов и котангенсов на тригонометрическом круге.

1. Пусть Введем вспомогательную прямую, параллельную оси Оу, на которой определяются тангенсы для любого числового аргумента.
2. Аналогично получаем линию котангенсов. Пусть у=1, тогда . Значит, значения котангенса определяются на прямой, параллельной оси Ох.

      На тригонометрическом круге без труда можно определить область определения и область значений тригонометрических функций:

для тангенса -

 для котангенса -

4) Значения тригонометрических функций на тригонометрическом круге.

     Катет , противолежащий углу в  равен половине гипотенузы, то есть  Другой катет по теореме Пифагора:

    Значит по определению синуса, косинуса, тангенса, котангенса можно определить  значения для углов кратных  или  радианам. Значения синуса определяются по оси Оу, косинуса по оси Ох, а значения тангенса и котангенса можно определить по дополнительным осям, параллельным осям Оу и Ох соответственно.  

   Табличные значения синуса и косинуса расположены на соответствующих осях следующим образом:

   Табличные значения тангенса и котангенса -

5) Периодичность тригонометрических функций.

    На тригонометрическом круге видно, что значения синуса, косинуса повторяются через каждые радиана, а тангенса и котангенса – через радиан.

6)Четность и нечетность тригонометрических функций.

   Это свойство можно получить, сравнивая значения положительных и им противоположных углов поворота тригонометрических функций. Получаем, что

Значит, косинус – четная функция, все остальные функции –  нечетные.

7) Возрастание и убывание тригонометрических функций.

     По тригонометрическому кругу видно, что функция синус возрастает  и убывает  

Аналогично рассуждая, получаем промежутки возрастания и убывания функций косинуса, тангенса и котангенса.

8) Формулы приведения.

    За угол  берем меньшее значение угла на тригонометрическом круге. Все формулы получаются в сравнении значений тригонометрических функций на катетах выделенных прямоугольных треугольников.

   Алгоритм применения формул приведения:

1) Определить знак функции при повороте на заданный угол.

2) При повороте на угол  функция сохраняется, при повороте на угол  - целое, нечетное число, получается кофункция (

9) Значения обратных тригонометрических функций.

  Введем обратные функции для тригонометрических функций, пользуясь определением функции.  

   Каждому значению синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге соответствует только одно значение угла поворота. Значит, для функции  область определения , область значений -  Для функции  область определения - , область значений - . Аналогично получаем область определения и область значений обратных функций для косинуса и котангенса.

    Алгоритм нахождения значений обратных тригонометрических функций:

1) нахождение на соответствующей оси значения аргумента обратной тригонометрической функции;

 2) нахождение угла поворота начального радиуса с учетом области значений обратной тригонометрической функции.

   Например:

10) Решение простейших уравнений на тригонометрическом круге.

    Чтобы решить уравнение вида , найдем точки на окружности, ординаты которых равны  и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

    Для уравнения , найдем точки на окружности, абсциссы которых равны  и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

    Аналогично для уравнений вида  Значения определяются на линиях тангенсов и котангенсов и записываются соответствующие углы поворота.

11) Решение неравенств.

    Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с ординатой  и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

   Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с абсциссой  и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

   Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точку на линии тангенсов с координатой  и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом области определения и периода функции.

   Аналогично для неравенств с котангенсом.

   Необходимо практиковать чтение промежутков на тригонометрическом круге, тогда решения неравенств определяются безошибочно.

12) Основные формулы тригонометрии.

1) Основные тригонометрические тождества.

Очевидны выводы формул  которые получаются в прямоугольном треугольнике на тригонометрическом круге.

2) Формулы сложения выводятся с использованием скалярного произведения векторов начального и «конечного» радиусов.

    Другие формулы сложения получаются с использованием предыдущей, формул приведения и свойств четности и нечетности тригонометрических функций.

   Почти все формулы тригонометрии являются следствиями этих основных формул.

   Все понятия и формулы тригонометрии получают сами ученики под четким руководством учителя с помощью тригонометрического круга. В дальнейшем этот «круг» будет служить для них опорным сигналом или внешним фактором для воспроизведения в памяти понятий и формул тригонометрии.

Выводы:

Изучение тригонометрии на тригонометрическом круге способствует:

1. выбору оптимального для данного урока стиль общения, организации учебного сотрудничества;
2. целевые ориентиры урока становятся личностно значимыми для каждого ученика;
3. новой материал опирается на личный опыт действия, мышления, ощущения учащегося;
4. урок включает в себя различные формы работы и способы получения и усвоения знаний;  присутствуют элементы взаимо- и самообучения; само- и взаимоконтроля;
5.  имеет место быстрое реагирование на непонимание и ошибку (совместное обсуждение, опоры-подсказки, взаимоконсультации).