Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе "Применение производной к исследованию функций"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Елисеева Г.И.,

учитель математики

Урок алгебры и начал анализа в 11-м классе "Применение производной к исследованию функций"

Тип урока: урок общеметодологической направленности

Оборудование и материалы:

1. а) карточки с заданиями теста;

б) карточки с заданиями;

в) конверт с карточками самостоятельной работы (1-й, 2-й, 3-й уровни) (дифференцированные задания)

2.Мультимедийное оборудование.

Структура урока:

1. Организационный этап  (2-3 мин)

2. Актуализация знаний. Тест с взаимопроверкой  (10-12 мин)

3. Обобщение и систематизация  (15-20 мин)

4. Контроль. Самостоятельная работа (дифференцированные задания  (9-11 мин)

5. Рефлексия и подведение итогов  (1-2 мин)

6. Домашнее задание   (1-2 мин)        

ХОД УРОКА:

I. Организационный этап

Приветствие.

- Прежде чем мы приступим к работе по теме урока, выясним: были ли трудности с выполнением домашней работы? У кого-то есть вопросы?

-Тема нашего урока «Применение производной к исследованию функций», и сегодня мы повторим теоретические вопросы темы, а также закрепим решение задач по данной теме.

II. Актуализация знаний

- Так как исследование функций связано с производной, то свою работу начнем с устных заданий по нахождению производных функций:

2.1. Найти производную функции (устно):

а) y = 4x3 − x4

б) y = 6

в) y = -  

г) y =  

д) y = sin3x

е) y =6cosx+3x

ж) y = e2х

з) y = 5ln(x+7)

и) y = ln(5x+7)

к) y =

л) y = 7х

2.2. Тест с взаимопроверкой

Для повторения теоретического материала по теме выполняется  тест, в котором необходимо заполнить пропуски, вписав необходимые понятия.

После выполнения заданий учащиеся  проводят  взаимопроверку по слайду.  (Слайд)

    1 вариант

Заполнить пропуски:

1) Если функция у = f (х) непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторого интервала и если f ′(х)< 0для всех х из этого интервала, то функция f (х) ………………….    на этом интервале.

2) Промежутки  …………………       …………………..  функции называют промежутками монотонности этой функции.

3) Точка х0 называется точкой   ………………………….  функции f(х), если для всех х ≠ х0  из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) < f(хо).

4) Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема,  называют ………………………..   точками этой функции.

5) Пусть функция f(х) дифференцируема на некотором интервале и в точке х0 из этого интервала имеет производную равную нулю, тогда: если при переходе через стационарную  точку х0  функции f(х)  её производная меняет  знак с «- » на «+», то х0 - точка ………………………………...

6) Чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, и имеющей несколько критических точек на этом отрезке, нужно вычислить значение функции …………………………………………………………, а затем из полученных значений выбрать наибольшее. 

2 вариант

1) Если функция у = f (х) непрерывна и дифференцируема в каждой точке некоторого интервала и если f ′(х) > 0 для всех х из этого интервала, то функция f (х) ………………………..  на этом интервале.

2) Точка х0 называется точкой …………………………… функции f(х), если для всех х ≠ х0    из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство f(х) >f(хо).

3) Точки максимума и точки минимума называются …………………………………... функции.

4) Точки, в которых производная функции равна нулю, называются………………….. точками.

5) Пусть функция f(х) дифференцируема на некотором интервале и в точке х0 из этого интервала имеет производную равную нулю, тогда: если при переходе через стационарную  точку х0  функции f(х)  её производная меняет  знак с «+» на «-», то х0 - точка …………………...............

6) Чтобы найти наименьшее значение непрерывной на отрезке [а;b] функции, и имеющей несколько критических точек на этом отрезке, нужно вычислить значение функции ………………………………………………………..., а затем из полученных значений выбрать наименьшее.

Ответы:

2.3. Фронтальная беседа по вопросам темы

      - Выполняя тест, вы вспомнили основные понятия темы, а теперь побеседуем с вами по следующим вопросам:

1) Как связан «знак» производной функции с возрастанием и убыванием  функции?

2) Приведите пример функции, не имеющей критических точек? (линейная, обратная пропорциональность, показательная, логарифмическая)

3) Приведите пример такой функции, у которой стационарная точка не является точкой экстремума.   (y = x3)                  

4) Приведите пример такой функции, которая имеет экстремум в точке, где эта функция не имеет производной.  (y =⃓ х,   y =⃓ ⃓)               

III. Обобщение и систематизация материала

3.1. Выполнение заданий на исследование функций по графикам

(из открытого банка заданий ЕГЭ (задание 8))

Работа в парах, задания учащиеся выполняют по карточкам, фронтальная проверка – на слайдах.

1.  На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек производная функции  f(x)   отрицательна?

2.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

3. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной  функции   f(x).  На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?

4.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7 ; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

5.  На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 2 ; 15].

6.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5].

7.  На рисунке изображён график функции y=f ′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 9 ; 3). Найдите точку минимума функции f(x).

8.  На рисунке изображён график y=f ′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 5). В какой точке   отрезка  [− 5;  −1]  функция f(x) принимает наименьшее значение?

3.2. Алгоритмы применения производной к решению задач на исследование функций

Каждый ряд получает задания на одно из исследований функции:

1) сформулировать алгоритм исследования функции;

2) провести исследование заданной функции.

Для выполнения данной работы учащиеся каждого ряда делятся на группы: первые две парты работают над теоретическим вопросом, последние  две парты – над ходом решения практической части. Один учащийся от каждой  группы представляет результаты обсуждения.

1. а) Исследование функции на монотонность.

б) Найти интервалы возрастания и убывания функции

          y = − x3 +3x2         (возрастает на (0;2), убывает на (;0), (2;))

2.а) Исследование функции на экстремумы.

б) Найти точки экстремума функции

 y = x3 +6x2            (х = – 4 – т. максимума, х = 0 – т. минимума)

3.а) Исследование функции на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

б)  Найти наибольшее и наименьшее значения функции

         y =12х – x3 на отрезке [–3; 1]     (11– наибольшее, –16 – наименьшее)   

3.3. Выполнение практических заданий  

(из открытого банка ЕГЭ (задание 11))

№1

Найти интервалы возрастания и убывания функции

            y =                     (убывает на (;3), (3;))

№2

Найти точки экстремума функции

           y = ln(x+8) – 10x + 8            (х = – 7,9 – т. максимума)

№3

Найти наибольшее  значение функции

            y = 6х – 2sinx + 3 на отрезке [– ; 0]           (3 – наибольшее)   

IV. Контроль. Самостоятельная работа (дифференцированные задания)

     В самостоятельной работе представлены задания 1-го, 2-го, 3-го уровня в зависимости от сложности. Учащиеся сами определяют, какой уровень работы им выбрать.

1вариант

Ответы: 

1 уровень

№1    х = 0,3 – т. максимума 

№2    6– наибольшее, 2 – наименьшее   

№3    возрастает на (0;1), убывает на (;0), (1;)

2 уровень

№1    х = –9 – т. минимума 

№2    11 – наименьшее   

№3    убывает на (;-2), (-2;)

3 уровень

№1    х =14 – т. максимума 

№2    6– наибольшее

№3    возрастает на (2;)

2вариант

Ответы:

1 уровень

№1   х =-   - т. минимума; – т. максимума 

№2   5– наибольшее, 1 – наименьшее   

2 уровень

№1   х = –4 – т. минимума 

№2    9 – наименьшее   

№3   убывает на (;0), (0;)

3 уровень

№1    х =2 – т. минимума

№2    8– наибольшее

№3     убывает на (;)

V. Домашнее задание

п.49, 50,52  №959  №962(2;4)   №968 (1;2)

VI. Рефлексия. Подведение итогов урока

Учащиеся оценивают свою деятельность на уроке, продолжив фразу:

Сегодня на уроке я повторил………..;

Сегодня на уроке я закрепил………..;

Мне предстоит ещё раз повторить…………