Открытый урок на марафоне 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Наибольшее и наименьшее значение функции. Работу выполнила: Козачёк Л.П. учитель математики

Слайд 2

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) y (0) = 0 Алгоритм решения задач

Слайд 3

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y \ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Слайд 4

наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает

Слайд 5

наибольшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Слайд 6

Сложная функция

Слайд 7

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция нескольких функций. Сложная функция – функция от функции. Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.       x v x v u x v u / / /             x v u   x v x

Слайд 8

Чтобы найти производную сложной функции , нужно: Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную. 2. Определить промежуточный аргумент.

Слайд 9

Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Функция квадратного корня Показательная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Логарифмическая функция Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx Степенная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция

Слайд 10

Проверим, принадлежит ли х= ln 3 промежутку [ 1; 2 ] Найдите наименьшее значение функции y = e 2x – 6e x + 3 на отрезке [ 1 ; 2 ] 1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в концах отрезка. 1) y ( 1 ) = e 2 – 6e + 3; y ( 2 ) = e 4 – 6e 2 + 3 2) y / = [1; 2] Найдем значение функции в критической точке. 2e x (e x – 3) = 0 e x – 3 = 0 x = ln3 ( e 2x ) / = e 2x (e x ) / = e x (2x) / = e 2x 2 = 2e 2x (kx) / = k 0  ( )   v v u v u / / /     – 6e x + 0 2e 2x 1) производная для внешней функции: (e x ) / = e x = 2e x (e x – 3) ( С ) / = 0 + – x y \ y ln 3 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. >0

Слайд 11

Найдите наибольшее значение функции 2.           x g x g f x g f / / /   5 – 4х – х 2 0 D ( y):  x = – 2 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D (у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. х ( ) х 2 1 /  – + x y \ y - 2 max Наибольшее значение функция примет в точке максимума. 3 х 1 0 х В 1 4 3

Слайд 12

При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной.   g(x) f Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. Где g ( x ) – промежуточный аргумент, квадратичная функция g(x) = a x 2 +bx + c Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение. А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение. Рассмотрим примеры.

Слайд 13

Найдите наибольшее значение функции 2. 5 – 4х – х 2 0 D ( y):  2 способ Решим задание без вычисления производной. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента , т.е. квадратичная функция – х 2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1 < 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) -4 х 2* 0   = -2 a b х 2 0   Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его: 3 х 1 0 х В 1 4 3 D(y)

Слайд 14

Найдите наименьшее значение функции 4.           x g x g f x g f / / /   x = - 1 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D (у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. + – x y \ y -1 min Наименьшее значение функция примет в точке минимума. 3 х 1 0 х В 1 4 1 6 D ( y): R x    a a a х х ln /  >0 >0

Слайд 15

Найдите наименьшее значение функции 4. D ( y): R x  Решим задание без вычисления производной. Показательная функция с основанием 2 >1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента , т.е. квадратичная функция х 2 + 2 х + 5 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1 > 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. 1 2 х 2* 0   a b х 2 0   Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его: D(y) = – 1 3 х 1 0 х В 1 4 1 6 2 способ

Слайд 16

Найдите наибольшее значение функции 6. 4 – 2х – х 2 0 D ( y):  Решим задание без вычисления производной. Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента , т.е. квадратичная функция 4 – 2х – х 2 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1 < 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) -2 х 2 0   = -1 1 3 х 1 0 х В 1 4 4 a b х 2 0  