План-конспект к вебинару по теме «Действительные числа. Действия с корнями»
методическая разработка по алгебре

План-конспект к вебинару по теме

«Действительные числа. Действия с корнями»

Учитель: Николаев А.А.

МАОУСОШ №8 г.Старая Русса

На предыдущем вебинаре мы обсуждали определение квадратного корня и некоторые его свойства. Выяснили, что из некоторых чисел корень не извлекается, к примеру .

Называли эти числа иррациональные. А сегодня поговорим и о других числах тоже.

Давайте вспомним, что нам известно. Мы задаем вопрос, вы на него мысленно отвечаете, сравниваете свой ответ с тем, который мы озвучим.

1. Какие числа вам известны (натуральные, целые, рациональные)?

2. Как обозначается множество натуральных чисел? Целых чисел? Рациональных чисел?

3. Верно ли, что:

27N; 2,7N; 0 Z; -8 Z; 5,6 Q

Возможно, вам известна история возникновения различных чисел. Вспомним основные моменты.

Вы знаете, что вначале при счёте предметов возникли натуральные числа. И долгое время натуральный ряд чисел считался конечным. При разделе добычи и в дальнейшем при измерении величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Их знали древние. Так Архимед утверждал, что число … Позднее, чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе десятичные дроби ввел в 1585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин. Отрицательные числа рассматривал греческий математик Диофант, живший в III веке н.э. Ещё раньше с отрицательными числами столкнулись китайские учёные. Это было примерно во II веке н.э. Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными».

1. Иррациональных.

 Математики Древней Греции пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! ВЫ легко можете построить такой квадрат.

Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа. Их открытие приписывают Пифагору. Позже, выяснилось, что этим числом является . В прошлый раз мы рассматривали приближенное значение этого числа.

Сегодня, докажем, что иррациональное число, т.е что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство.

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимой дроби , где m n

Число чётное, значит, и равное ему  чётное ⟹ m чётное ⟹ m можно представить в виде m=2k. Подставим 2k  вместо m в равенство
. Получим

Число чётное, значит, и равное ему  чётное ⟹ n чётное ⟹ n можно представить в виде n=2p.

⟹ дробь  сократима. Значит, иррациональное число.

На видеоуроке вы узнали:

Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом.

Также иррациональным числом является число π (отношение длины окружности к ее диаметру)

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. (R).

Ответьте на вопросы

1.Устно:

верно ли, что:

а) каждое рациональное число является действительным;

б) каждое действительное число является рациональным;

в) каждое иррациональное число является действительным;

г) каждое действительное число является иррациональным?

Вспомним еще об одном фрагменте видеоурока

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Периодические дроби делятся на чистые и смешанные, и они подчиняются разным алгоритмам перевода. Сам период представляет собой цифру или группу цифр, неизменно повторяющихся бесконечное количество раз в дробной части. У чистых периодических дробей период расположен сразу после запятой. На уроке вы рассматривали перевод в обыкновенную дробь, повторим его в упрощённом виде.

Для чистых периодических дробей перевод в обыкновенную дробь заключается в том, что период записывается в числитель, а знаменатель состоит из количества цифр 9, равного количеству цифр в периоде.

Пример:

В смешанных периодических дробях между запятой, отделяющей целую часть от дробной, и периодом могут присутствовать другие цифры. Смешанные периодические дроби следуют немного другим законам перевода в обыкновенные. Количество знаков в знаменателе остается равным количеству знаков после запятой, включая в период, но теперь знаменатель будет состоять не только из 9, но и из 0, где количество 9 – это количество цифр в периоде, а количество 0 – это количество цифр между запятой и периодом. Числитель же рассчитывается через разность числа записанного после запятой, включая период, и числа, представляющего набор цифр между запятой и периодом.

Пример:

Так же есть ещё один способ. Сейчас мы его рассмотрим:

Перевести из периодической дроби в обыкновенную: 0,(4)

Решение.

 0,(4)=0,444…=0,4+0,04+0,004+…

В девятом классе вы узнаете, что

Правая часть равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. b1=0,4, b2=0,04. Для вычисления этой суммы есть специальная формула.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

имеем:

Еще задание:

2. Среди чисел укажите рациональные и иррациональные числа:

-1; 0; 0,25; -2, (3); 4,2(51); 217; 36,36367; 0,81811811181111811111… ;π.

История вычисления числа π очень интересна и драматична. Началась она в Древнем Египте. Числом π обозначали отношение длины окружности к ее диаметру. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. π = 3,160...

 Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3  и больше 3 .  И только в 1760-х годах немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт доказал его иррациональность.

Свойства квадратного корня

На предыдущем вебинаре мы уже говорили о свойствах квадратного корня.

Мы продолжаем изучать квадратные корни. Сегодня рассмотрим основные свойства корней. Все основные свойства интуитивно понятны и согласуются со всеми операциями, которые мы проводили раньше. Вспомним, о чем мы говорили на прошлом вебинаре.

Свойство 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел: ,

Это свойство можно использовать и для вычисления квадратного корня путем разложения подкоренного выражения на множители, и для представления нескольких множителей в виде одного корня.

Из нашего свойства следует, что, например, .
Замечание 1. Свойство справедливо и для случая, когда под корнем более двух неотрицательных множителей.

Это свойство, как мы говорили раньше, широко используется для извлечения корней из очень больших чисел. Чтобы воспользоваться этим свойством, вспомним признаки делимости

• Число делится на 2 если оно оканчивается.
• Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.
• Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4.
• Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю.
• Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.
• Число делится на 10, если последняя цифра числа 0
• Число делится на 100, если две последние цифры числа 00

Еще одно свойство делимости, которое нам может понадобиться, если число раскладывается на простые множители, то для него применяются признаки делимости всех его простых множителей.

Например: 6=2*3, значит, чтобы число было кратно (делилось) на 6, необходимо, чтобы для него выполнялись признаки деления на 2 и на 3. Т.е. число было четным и сумма его цифр делилась на 3.

Вспомним примеры из прошлого текста, решим подобные

1. Вычислите:  

2. Вычислите: .

Корень из числа 1521 мы можем посмотреть в таблице квадратов, или так же разложить его на множители: 1521=9*169 и извлечь корень уже из этих чисел.

2. Извлеките корень:

Для начала мы выполняем все действия под корнем, а затем извлекаем корень .

3. Извлеките корень:

Из 50 корень полностью не извлекается, то мы можем оставить часть под корнем. Это свойство называют вынесением множителя из под знака корня. Аналогично есть свойство внесения множителя под знак корня. Рассмотрим на примере:

4. Внесите множитель под знак корня:

Еще одно свойство, о котором мы говорили, …

Свойство 2. Если а≥0 и b>0, то справедливо следующее равенство:  
То есть корень из частного равен частному корней.

4. Вычислите: .

5. Найдите значение частного:
6. Найдите значение частного:

7. Найдите значение частного:

В математике не принято оставлять корень или иррациональное число в знаменателе дроби. ⟹. Здесь мы использовали основное свойство дроби.
По основному свойству дроби умножаем и числитель, и знаменатель на √2.

Ребята, обратите внимание, что для операций сложения и вычитания подкоренных выражений ни каких формул не существует и представленные ниже выражения не верны.

Чтобы говорить про следующее свойство, давайте вспомним определение модуля числа.

Итак, модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (а).

Соответственно, модулем положительного числа является само это число.

Модуль числа нуль равен нулю.

А модулем отрицательного числа является противоположное ему число.

Теорема: При любом значении х верно равенство:

Доказательство:

1. Если то по определению арифметического квадратного корня
2. Если то , поэтому , ведь мы знаем, что x²=(-x)²    ч.т.д.

8. Вычислите:

9. Вычислите:

10. Упростите выражение: .

В задании для самостоятельной работы вы видели задания, в которых под корнем стояли буквенные выражения. Действительно, под корнем могут находиться не только числа, но буквы. Давайте рассмотрим пару примеров

1. Упростите:

Для дальнейшего упрощения нам необходимо знать,  какие числа a и c. Положительные/отрицательные или 0. В зависимости от этого мы рассказываем модуль. Т.к. b² всегда больше 0, то модуль мы можем снять.

2. Упростите, при g<0:

На этом наш рассказ подошёл к концу, если у вас остались какие-либо вопросы, задавайте их в чате, мы обязательно на них ответим!

Ждем вопросы

…

Всего хорошего