Конспект урока по алгебре в 9 классе "Основные правила комбинаторики"
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Урок 1.

  Примеры комбинаторных задач

Цель: повторить и обобщить основные понятия комбинаторики, ввести комбинаторное правило умножения.

Ход урока

I .  Организационный момент.

II . Актуализация знаний: 

Вспомним примеры таких задач:

1.Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде 3-х горизонтальных полос одинаковых по ширине и цвету: синий, красный и белый. Сколько стран могут испытать такую символику при условии, что у каждой страны свой отличный от других флаг?

    Решение: Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов.

Ответ: 6 комбинаций.

2.Сколько чётных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9.

    Решение:

Ответ: 15 чисел.

3.На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их может кофеем, соком или кефиром.  Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

     Решение:         КП          КБ           КПр         КК

                             СП           СБ           СПр         СК

                             К-рП       К-рБ      К-рПр      К-рК                   Ответ: 12 вариантов.

Во всех задачах был осуществлён перебор всех возможных вариантов или комбинаций. Поэтому эти задачи называют комбинаторными. Слово комбинация происходит от латинского combino – соединяю. Действительно при получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов последовательно соединяя  их друг с другом. С этой точки зрения: число – это комбинация цифр, слово – это комбинация букв, меню – это комбинация блюд.

Во всех предложенных задачах для подсчёта числа комбинаций мы использовали простой способ подсчёта – прямое перечисление (опираясь на «дерево возможных вариантов», таблицу, кодирование). Но способ перебора возможных вариантов далеко не всегда применим, ведь количество комбинаций может исчисляться миллионами.

Здесь на помощь приходят несколько замечательных комбинаторных правил, которые позволяют подсчитать количество комбинаций без их прямого перечисления.

III. Изучение нового материала.

Мы рассмотрели примеры 3-х разных задач, но получили совершенно одинаковые решения, которые основаны на общем правиле умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим к элементов. Если первый элемент m1выбрать n1 способами, после чего второй элемент m2 выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент m3 выбрать n3 способами из оставшихся и т.д., то число способов могут быть выбраны все к элементов, равно произведению

1-я задача: выбор верхней полосы  -  из 3-х цветов, т.е. n1=3;  средняя полоса – из 2-х цветов, т.е.n2=2; нижняя полоса – из 1-го цвета, т.е. n3=1.

2-я задача: заметим, что в этой задаче задействованы  два независимых исхода.

IV. Закрепление. Решение задач .

№1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник — и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Решение.

  Выберем одно блюдо (борщ) и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда, получая пары:

Б, г; б, к; б, с; б, п (4 пары).

    Теперь в качестве первого блюда выберем рассольник и будем добавлять к нему поочерёдно разные вторые блюда:

Р, г; р, к; р, с; р, п (4 пары).

 Согласно правилу комбинаторного умножения всего обедов: 24=8.

 Построив дерево возможностей, получим 8 вариантов.

Ответ: б, г; б, к; б, с; б, п; р, г; р, к; р, с; р, п.; получим восемь разных обедов из двух блюд.

   №2 Составьте все возможные двузначные числа из указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза:

а) 1, 6, 8;        б) 0, 3, 4.

 Решение.  

 а) Выбираем поочерёдно:16, 18, 61, 68, 81, 86. Всего 6 различных чисел.

 б) Выбрать первый 0 мы не можем (число должно быть двузначным), поэтому выбираем на первую позицию только вторую и третью цифры 30, 34, 40, 43. Всего четыре различных двузначных числа.

Ответ: а) 16, 18, 61, 68, 81, 86; б) 30, 34, 40, 43.

Работа по учебнику: №583,584,586

V. Д/з 577,581

VII. Итог.