Статистическая вероятность
методическая разработка по алгебре (9, 10 класс)

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

"Статистическая вероятность"

( занятие в рамках элективного курса для учащихся 9-10 классов

«Элементы теории вероятностей»)

Учителя: Алексеева В.А.; Оводова Е.Г.

ГБОУ школа № 404 Колпинского района Санкт-Петербурга

Статистическая вероятность

( занятие в рамках элективного курса для учащихся 9-10 классов

«Элементы теории вероятностей»)

Учителя: Алексеева В.А.; Оводова Е.Г.

Цель занятия: систематизировать знания учащихся по теме «Вероятность случайного события», ввести статистическое определение вероятности.

Оборудование: раздаточный материал для проведения исследования (таблицы, монеты, калькуляторы), плакаты с таблицами для записи итогов исследования, портреты ученых математиков.

Ход занятия:

I. Повторение пройденного

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая массовые закономерности в случайных событиях. Поэтому давайте вспомним что понимают под событием?

Ответ: В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений.

Мы знаем, что все события можно подразделить на невозможные, достоверные и случайные. Вспомните какое событие называют невозможным? И приведите примеры.

Ответ: Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может. Например, вода в реке замерзла при температуре +250С.

Говорят также, что такие события совершенно невероятны. Про них говорят: «Бред сивой кобылы» или «Сбудется, когда рак на горе свиснет!».

Вспомните какое событие называют достоверным? И приведите примеры.

Ответ: Достоверным называют событие, которое в данных условиях непременно произойдет. Если кусок газеты положить в воду, он промокнет. Если его поднести к огню (а в воду не совать), он загорится. Если один край листа потянуть в одну сторону, а другой в другую, то лист разорвется. Все это события достоверные.

О таких событиях идет речь и в поговорках: «Не бывать калине малиною», «Не бывать плешивому кудрявым», «Не бывать сосновой шишке на рябине».

Какое событие называют случайным? Приведите примеры.

Ответ: Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти. Например: при телефонном звонке абонент оказался занят; при бросании игральной кости выпало 2 очка.

Про эти события еще говорят: «Чем черт не шутит!», «Бабка на двое сказала», «Бог даст получится».

Мы знаем, что в одно и тоже время могут происходить несколько событий. В этом случае мы можем говорить о совместных и несовместных, равновозможных и неравновозможных событиях.

В упражнениях 1 и 2 вам надо среди данных пар событий указать, какие являются совместными, а какие несовместными.

1. В сыгранной Катей и Славой партии в шахматы: 1) Катя выиграла; Слава проиграл; 2) Катя проиграла; Слава проиграл.

Ответ: а) совместное; б) несовместное.

2. Брошена игральная кость. На верхней грани оказалось: 1) 6 очков; 5 очков; 2) 6 очков; четное число очков.

Ответ: а) несовместное; б) совместное.

В упражнении 3 вам надо указать равновозможные события.

3. 1) «вынута карта красной масти и вынута карта черной масти»;

 2) «вынут король и вынута дама»;

 3) «вынута карта бубновой масти и вынута карта червовой масти»;

 4) «вынута карта пиковой масти и вынута карта красной масти»;

 5) «вынута шестерка треф и вынута дама пик».

Ответ: а) да; б) да; в)да; г)нет; д)да

Встречаясь в жизни с различными событиями, мы часто даем оценку степени их достоверности. При этом произносим, например, такие слова: «это невероятно», «маловероятно», «это произойдет наверняка», «шансы равны» или «шансы 50 на 50».

Вопрос о возможности измерения степени достоверности наступления какого-либо события задавали себе еще в XVII в. французские ученые Блез Паскаль (1623-1662) и Пьер Ферма (1601-1665). Наблюдая за игрой в кости, Паскаль высказал идею измерения шанса выигрыша некоторым числом. Долю успеха того или иного события математики стали называть вероятностью этого события и обозначать Р(А) ( по первой букве латинского слова probabilitas – вероятность), где буквой А обозначено данное событие.

Вспомним что называют вероятностью события?

Ответ: Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов в результате которых наступает событие А, к общему числу всех возможных исходов этого испытания.

При классическом определении вероятность события А определяется равенством, где m – число исходов благоприятствующих событию А, n – общее число возможных исходов испытания.

Чему равна вероятность невозможного события? Достоверного события?

Используя классическое определение вероятности события решите упражнения 4, 5, 6.  

4. В ящике находятся 2 белых и 3 черных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: а) белый; б) черный; в) зеленый; г) белый или черный?

Ответ: а) , б) , в) 0, г) 1.

5. На одинаковых карточках написаны числа от 1 до 10 (на каждой карточке – одно число). Карточки положили на стол, перевернули числами вниз и перемешали. Какова вероятность того, что на вынутой карточке окажется число: а) 7; б) четное; в) кратное 3;  г) кратное 4; д) делящееся на 5; е) простое число?

Ответ: а) , б) , в) , г) , д) , е) .

6. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Ответ: .

II. Объяснение нового

При нахождении вероятности событий, описанных в задачах, мы не проводили испытаний. Однако при изучении случайных явлений в естествознании, экономике, медицине, производстве необходимо провести большое число испытаний. Поэтому, наряду с классическим, на практике используют статистическое определение вероятности. Для знакомства с ним требуется ввести понятие относительной частоты.

Определение Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют  частотой события А.

Относительную частоту события А обозначают W(А), поэтому по определению:

Сегодня на уроке мы проведем исследование с помощью которого выйдем на определение статистической вероятности.

Исследование. Проведем испытания (опыты) с подбрасыванием монеты и будем наблюдать за появлением орла. Один из вас будет подбрасывать монету и сообщать о том, что выпало — орел (О) или решка (Р). Другой будет вносить результаты испытаний во второй столбец таблицы. После 25 подбрасываний в третьем столбце вы запишете результаты «накопления» частоты М появления орла, а в четвертом — подсчитаете с помощью микрокалькулятора для каждого значения N (числа испытаний)

относительную частоту   (с точностью до одной десятитысячной).

Составим сводную таблицу результатов наших испытаний, суммируя в первом столбце число N проводимых всех испытаний, во втором — количество появлений орла М и находя в третьем столбце для каждой серии испытаний относительные частоты события

Заметим, что после значительного числа испытаний относительная частота появления орла все меньше отличается от 0,5. В этом случае мы сталкиваемся с замечательным законом природы – статистической устойчивостью.

Определение. Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Полученный в нашем  исследовании факт подтверждают и дошедшие до нас исторические сведения. Известно, что в XVIII в. французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк де Бюффон (1707—1788) провел 4040 испытаний с подбрасыванием монеты. В результате чего   наблюдал   появление   орла   2048   раз.   Таким   образом, Бюффон  получил  относительную  частоту появления  орла, равную 0,5069. В начале XX в. английский ученый Карл Пирсон (1857—1936) провел с помощью своих учеников 24 000 аналогичных испытаний и наблюдал 12 012 появлений орла. Относительная частота события у Пирсона оказалась равной .

Проявление свойства статистической устойчивости можно проиллюстрировать на следующих примерах.

1. В литературоведении хорошо известен тот факт, что у каждого автора есть своя частотная таблица использования букв, слов, специфических литературных оборотов и т.п. По этой частотной таблице можно определить автора примерно так же точно, как по отпечаткам пальцев. До сегодняшнего дня, например, не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Довольно многие считают, что в 23 года М.А.Шолохов такую глубокую и поистине великую книгу написать просто не мог. Однако статистический анализ романа и сличение его с текстами, в авторстве М.А.Шолохова которых не было сомнений, подтвердил все же гипотезу о М.А.Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».

2. В демографии хорошо известно число 0, 514. Оно выражает долю мальчиков в общем числе новорожденных. Одним из первых ученых, который обратил внимание на эту закономерность, был немецкий естествоиспытатель А. Гумбольд (1769-1859). Он высказал предположение, что это явление можно рассматривать как общий закон человечества. Причем Гумбольд установил, что это отношение равно 22/21, т.е на 22 мальчика приходится 21 девочка.

Исследования с большим числом испытаний проводились различными людьми в разные годы. В связи с этим швейцарский математик Якоб Бернулли (1654—1705) обосновал так называемый закон больших чисел:

Закон больших чисел: Можно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности Р(А), т. е. Р(А)W(А) при большом числе испытаний.

Например, как приближенно установить число рыб в озере?

Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в озеро. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней m рыб, среди которых к меченных. Пусть событие А – пойманная рыба меченная, тогда  . Но если в озере х рыб и мы в него впустили n меченных, то . Тогда имеем  и .

III. Итоги занятия

Сейчас, пожалуй, нет области знания, в которой не использовались бы методы теории вероятностей. Применение вероятносто-статистических методов стало традиционным во многих науках. К ним относятся физика, геодезия, теория измерений и др. В последнее время теория вероятностей неожиданно стала использоваться в таких науках, где и нельзя было ожидать. Это медицина и биология, военная наука и космонавтика, теория стихосложения и лингвистика, психология и теория обучения. Кроме того на основе вероятностных методов появился целый ряд новых наук, отпочковавшихся от теории вероятностей. Это теория информации, теория надежности, статистический контроль качества, планирование эксперимента и др.

На нынешнем  этапе развития народного хозяйства решение многих практических задач в машиностроении, строительстве, экономике, управлении, телефонии, метеорологии, в металлургии и многих других отраслях стало невозможно без использования вероятностных и статистических методов.

Итак, сегодня на уроке мы на основе исследования ввели понятие статистической вероятности, замечательное свойство статистической устойчивости и закон больших чисел и убедились в их широком применении в различных сферах деятельности человека.