Решение квадратных уравнений с модулем
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Урок. 8 класс.

Тема: « Решение квадратных уравнений с

модулем».

Цель урока: Научить решать квадратные уравнения с модулем с

                       использованием определения модуля и введением        

                       рациональной подстановки.

Ход урока:

1. Организационный момент. (3 мин.)
2. Повторение изученного материала: (5 мин.)

    Способы решения квадратных уравнений:

а) решение квадратных уравнений общим способом (через Д);

б) решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом (через Д/4)

в) решение квадратных уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета;

г) решение квадратных уравнений через сумму коэффициентов

    (а+в+с=0, а-в+с=0).

3. Объяснение нового материала: (20 мин.)

1. Решить уравнение:   х2 – 7IхI + 6 = 0.

 а)  Используя определение модуля, данное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений:

                х2 – 7х + 6 = 0        и            х 2 + 7х + 6 = 0;

                  х = 1,  х = 6;                                 х = -1,  х = -6.

Ответ:    .

 б) Учитывая, что IxI2 = x2, и, обозначив IxI = у, где у  0, данное уравнение можно записать в виде:

                  у2 – 7у + 6 = 0,

                   у = 1,  у = 6

                   IхI = 1,  IхI = 6

                   х =   х = 6

Ответ:    .

     2. Решить уравнение: (х – 2)2 – 8I х – 2I  + 15 = 0.

Вопрос: Чем данное уравнение отличается от предыдущего?

              После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное уравнение в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

              Ответ: -3; -1; 5; 7.

    3. Решить уравнение: х2 + 4х + Iх +3I + 3 = 0.

              Данное уравнение отличается от предыдущих тем, что сумма первых двух слагаемых не является полным квадратом третьего слагаемого. Поэтому, при решении данного уравнения необходимо найти точки, при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак. Для этого решаем уравнение

Х + 3 = 0,  х = -3. Далее раскрываем знак модуля, используя определение, для х < - 3, и для х  - 3.

При х < - 3,         х2 + 4х - х - 3 + 3 + 0,      х2 + 3х + 0, х = 0,  х = -3, но оба эти корни не удовлетворяют условию х < - 3, поэтому не являются решениями данного уравнения.

При х  - 3,        х2 + 4х + х + 3 + 3 + 0,    х2 + 5х + 6 = 0, х = -2, х = -3.

 Ответ:  -3;  -2.

     4. Решить уравнение: х2 + 17 = 9х + 4Iх – 3I.

Данное уравнение учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

       Ответ: ; .

4. Закрепление изученного материала:  (15 мин).

Примеры для самостоятельного решения в классе:

1. х2 + 2IхI – 1 = 0,                                 отв. - 1;  1 -
2. х2 + 5 IхI -24 = 0,                                  отв. -3; 3.
3. (2х -3)2 – 5I2х-3I – 6 = 0.                    отв. -1,5;  4,5.
4. 2х2 – 4Iх – 6I +7х = -11,                      отв. -6,5;  1.
5. (2х – 1) (IxI – 1) = -0,5.                       отв. ;  .
6. Ix2 +2x +3I = 3х +45                            отв.-6; 7.

Данные примеры учащиеся выполняют под контролем учителя, при необходимости учащимся оказывается индивидуальная помощь.

5. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (2 мин).

Примеры для домашнего задания:

7. 4х2 – 3IxI + х = 0,
8. Ix-2Iх2 = 10 – 5х,
9. (х + 4)2 - 7(х + 4) – 8 = 0,
10. х2 – 5х -  = 0.
11. Ix2 – 4x -9I = 4x.

Тема: «Решение квадратных неравенств с модулем».

Цель урока: Научить решать неравенства второй степени с модулем

                    по определению модуля и с использованием свойств

                    неравенств.

Ход урока:

1. Организационный момент. (2 мин.)
2. Устный опрос и проверка домашнего задания. (10 мин.)

а) Ответить на вопросы учащихся (если есть) и проверить решение примеров:

    1. х2 – 5х -  =0,  

     при х > 0,  

х2 – 5х -6 = 0,

х = 6,  (-1 – не удовлетворяет условию)

 при х < 0,

х2 – 5х + 6 = 0,

оба корня 2 и 3 не удовлетворяют условию.          

Ответ: 6.

    2. I x2 – 4x -9I =4х.

По смыслу модуля, данное уравнение решаем для х 0.

 x2 – 4x -9 =4х,                                      x2 – 4x -9 =-4х

х2 – 8х -9 = 0,                                        х2 – 9 = 0,

х = 9, (-1 не удовлетворят                   х = 3, (-3 не  удовлетворяет                                                                         условию)                                                              условию)

Ответ:  3; 9.                  

б) Решить уравнения (устно):

1. х2 – 8IxI + 7 = 0             Отв. -1; -7; 1; 7.

2.     х2 – 10IxI -11 = 0            Отв.  -11; 11.

3.     х2 – IxI + 17 = 0               Отв. нет решений.  

    в) Решить линейные неравенства:

         1.  IxI < 3;                               отв. (-3; 3)

         2.  IxI > 5;                               отв. (-; -5)(5; +)

         3.  I6x - 42I  0;                     отв. 7.

         4.  I7x - 56I < -8                     отв.решений нет.

     III. Объяснение и закрепление нового материала. (30 мин)

Объяснение нового материала построено на разборе трёх типовых неравенств с последующим закреплением при решении подобных примеров.

1. Решить неравенство: х2 – 8IxI - 9 < 0.

Обозначив левую часть неравенства через У, и введя новую переменную t = IxI, (t  0), найдём промежуток, на котором функция У = х2 – 8IxI – 9 принимает значения меньше 0. Это интервал (-1; 9).  

Учитывая, что t = IxI, и  t  0   при любом х, получим линейное неравенство IxI < 9,  решением которого являются все значения х из промежутка (-3; 3).              

Ответ: (-3; 3).

2. Решить неравенство: -4х2 – 7IxI +11 ≤ 0.  

    Вопрос: Чем данное неравенство отличается от предыдущего?

              После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное неравенство в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

             Ответ: (-; -1] [1; +).

3. Решить неравенство: х2  - 7х + 12 < Ix – 4I.

Находим точки при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак: 

                                 х – 4 = 0,

                                 х = 4. 

Рассмотрим два случая:  

а) х < 4; тогда  х2  - 7х + 12 < -x + 4.

                         х2 – 6х + 8 < 0

                         2 < х < 4.

б) х  4, тогда х2  - 7х + 12 < x - 4.

                         х2 – 8х + 16 < 0,

                         (х – 4)2 < 0,

    Очевидно, что это неравенство решений не имеет.

Ответ: (2; 4)

4. Решить неравенство: х2  - 13х + 42  Ix – 7I.

Данное неравенство учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

     Ответ: (-; 5] [7; + ).

5 Решить неравенство: Ix2 – 2xI ≤ -x.

 При решении данного неравенства будем пользоваться свойством: IaI ≤ b  -b  ≤ a  ≤ b .

                                   x2 – 2x ≤ -x,

                                   x2 – 2x ≥ х;  

                              x2 – x ≤ 0,

                                   x2 – 3x ≥ 0;

Изобразив решение каждого неравенства на числовой прямой, получим:

    ◦////////////////////◦       x                    \\\\\\\\\\\\\\\\               /////////   x

   0                  1                                           0             3                              

х = 0 – единственное решение данного неравенства.

  Ответ:  0.

12. Решить неравенство:  Ix2 – 3x – 16I ≥ 3x. 

IV. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (3 мин.)

1. 2х2 - 5IxI + 3x ≥ 0,

2. х2 - 7IxI + 10 < 0,
3. Ix2 – 5xI < 6,
4. I2x2 – 5xI ≤ 5x,
5. Ix + 3I > x2  + 5x + 6,
6. Ix2 + 6xI ≤ -3x.