Мастер -класс " Целое уравнение и его корни "
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

                  Мастер- класс

         Урок на тему: «Целое уравнение и его корни  "

.

Тип урока-: Мастер -класс

Учитель математики - Новикова Татьяна Васильевна

 Пушкинский лицей экономики, политики  и права"

Цель урока: 

Ввести понятие целого уравнениия, степени уравнения; познакомить учащихся с уравнениями высших степеней, повторить решение первой и второй степени.

Задачи:

• Образовательные (формирование познавательных УУД): ввести понятие целого уравнения, степени уравнения, познакомить учащихся с уравнениями высших степеней.
• Развивающие (формирование регулятивных УУД): развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний;
• Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):воспитывать у учащихся взаимоуважение, трудолюбие, интегрироваться в группу со сверстниками и строить продуктивное взаимодействие навыков самоконтроля.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• выводят правила решения целых уравнений;
• решают самостоятельно уравнения;
• оценивают результаты своей деятельности на уроке.

Используемое оборудование: компьютер, учебники по математике, раздаточный материал (шаблон с пропусками для изучения нового материала, таблица 1,таблица 2, карточки с заданиями для самостоятельной работы), электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.

Структура и ход урока

I. Организационный этап.

Создается психологическая атмосфера урока; учитель подготавливает необходимое оборудование; включает учеников в деловой ритм урока.

II. Проверка домашнего задания (Фронтальный опрос учащихся).

Продолжить ответ:

1. Уравнением называется ……
2. Корнем уравнения с одной переменной называется…
3. Решить уравнение – это значит …
4. Уравнения с одной переменной , имеющие одни и те же корни, называются …
5. А если уравнения не имеют корней, как они называются?

II. Актуализация знаний.

Сегодня мы с вами будем изучать новую тему, какую позже вы сами сформулируете.

Посмотрите на экран монитора, где представлены различные уравнения.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья,

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

/А.Н.Колмогоров/

Таблица 1.

2x+8=4

7.

x3-25x=0

x2=0

8.

x(x-1)(x+2)=0

3x-5=0

9.

x4+x2=-2

10.

x2-0,01=0,03

x2=1/36

11.

19-c2=10

x2=-25

12.

(x-3)2=25

- Посмотрите внимательно на уравнения и уберите то, которое, на ваш взгляд, отличается от остальных.

-Уравнение 4.

- Чем отличается уравнение 4. от остальных?

- Левая и правая части этого уравнения – дробные выражения. Оно относится к дробным.

Мотивация.

- Что обычно делают с уравнениями?

- Решают!

- Повторим ещё раз, что значит решить уравнение?

- Найти его корни.

- Что называется корнем уравнения?

- Корень уравнения – это такое значение неизвестной переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.….

- Молодцы! Данные уравнения отличаются друг от друга?

- Да. (Нет).

- Чем они похожи, чем отличаются?

- В этих уравнения нет неизвестного x в знаменателе. Левая и правая их части – целые… выражения.

- Что же будем называть целым уравнением? впишите данное определение в наш шаблон, учитывая пропуски:

Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая часть которого – целые выражения.

Итак, тема нашего урока: «Целое уравнение и его корни».

- А какие уравнения вы уже знаете и умеете решать?

- Уравнения 1-ой СТЕПЕНИ и квадратные уравнения.

- Приведите пример таких уравнений. Можно выбрать из таблицы 1.

- Давайте решим уравнение 1-й степени и узнаем, сколько оно может иметь корней.

На доске:

x-5=10

х²=9

- Давайте устно решим эти уравнения и при этом вспомним, какими способами решаются уравнения первой и второй степени.

III. Изучение нового материала.

- А теперь проверим, сколько корней может иметь уравнение 1-й степени?

- Не более одного.

- Сколько корней может иметь уравнение 2-й степени?

- Два?

-Решите квадратные уравнения и сами сделайте выводы.

Таблица 2.

1-й вариант

2-й вариант

3-й вариант

x2-5x+6=0

y2-4y+7=0

x2-12x+36=0

Д=1, Д>0

Д=-12, Д<0

Д=0;

Два корня: x1=2, x2=3

нет корней

1 корень: x=6

- Повторю вопрос: сколько корней может иметь уравнение 2-й степени?

- Не более двух.

- Ребята, в самом начале урока вы решали устно уравнения. Давайте вновь вернёмся к ним и укажем степени этих уравнений. А что вы смогли бы назвать степенью уравнения?

Ученики подходят к определению, что степень уравнения – это наибольший показатель степени переменной, входящей в уравнение.

Учитель обобщает:

Если уравнение с одной переменной записано в виде P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения.

- Давайте поиграем: придумывая коэффициенты, запишем уравнения 3-й, 4-й и 5-й степеней. Назовите ваши уравнения.

- А теперь попробуем выяснить, сколько корней может иметь уравнение 3-й степени?

1-й вариант

2-й вариант

3-й вариант

x3-1=0

x3-4x=0

x3-12x2+36x=0

x3=1

x(x2-4)=0

x(x2-12x+36)=0

x=1

x=0, x=2, x= -2

x=0, x=6

1 корень

3 корня

2 корня

- Итак, сколько корней может иметь уравнение 3-й степени?

- Не более трёх.

- Вы самостоятельно убедились, что существуют также и уравнения более высоких степеней. Это уравнения 4 степени, 5 степени и более. А сколько они могут иметь корней? Для решения уравнений 4, 5 и более степеней существуют специальные методы. В профильном классе программа предполагает изучение решений некоторых из них. Мы с вами сегодня решали уравнения аналитическим способом, но существует не только этот способ.

Учащиеся сталкиваются с уравнениями высших степеней и испытывают затруднения при их решении.

- Прежде чем мы с вами познакомимся с методами решения таких уравнений, ответьте мне на вопрос:

Какие способы решения уравнений вы знаете?

I способ: Разложение на множители (см.3-й вариант).

«Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду»

/Толстой Л.Н./

3-й вариант

x3-12x2+36x=0

x(x2-12x+36)=0

х(х-6)²=0

Ответ: x=0, x=6

2 корня

- решение данного уравнения запишем в шаблон.

II способ: Введение новой переменной.

- Предлагаю решить уравнение x3+x-4=0. Сколько корней оно может иметь?

- Не более трёх.

- Запишем это уравнение в виде x3=-x+4. А теперь рассмотрим функции y=x3 иy=-x+4. Что является графиками данных функций?

- Кубическая парабола и прямая.

- Это уравнение можно решить графически. Воспользуйтесь, пожалуйста, шаблоном графика функции y=x3. Сколько точек пересечения этих графиков?

- Одна.

- Верно, графики пересеклись в одной точке. Попробуйте назвать корень данного уравнения.

- Где-то 1, 6 или 1,5, (1,7).

- Ближе ответ хᴝ1,6. Как вы думаете, в чём недостаток данного метода решения.

- Он неточен.

- Действительно, графический способ решения уравнений не всегда обеспечивает высокую точность результата, и поэтому иногда приходится этот результат уточнять при помощи вычислений. Итак, данное уравнение имеет одно решение.

- А если бы подобное уравнение имело бы 2 решения, то как могла бы располагаться прямая по отношению к кубической параболе?

(Создание проблемной ситуации. У доски ученик схематически показывает расположение двух графиков).

IV. Закрепление.

- А теперь попробуем все теоретические знания применить на практике. Я предлагаю вам решить № 272(б, в, г); № 276(а,б). А для проверки ваших решений на столе приготовлены карточки с решёнными уравнениями. Проверьте свои знания.

V. Рефлексия. Этап оценивания знаний учащихся.

Подведение итогов урока.

- А теперь давайте обобщим то, о чём мы говорили на уроке.

- Какие уравнения мы сегодня решали?

- Какой степени они были?

- Как определить степень уравнения?

- Вспомните методы решения уравнений!

- Сколько корней может иметь целое уравнение? (а уравнение n-й степени?)

Задание на рефлексию.

Спасибо за сотрудничество. Попрошу вас, ребята, оценить сегодняшний урок с помощью смайликов:

IV. Домашнее задание.

П. 12, с. 75-78. №267(в,г), №2779(а), №2789(е).

Повторить способы разложения многочлена на множители.

Повторить графики изученных ранее функций.

                    СПАСИБО ЗА УРОК!