Финансовая математика: кредиты
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Виды экономических задач ( профильный уровень) Вклады Кредиты Оптимизация

Слайд 3

В задачах по теме «Кредит» используют три основных вида платежа : 1. Дифференцированные платежи (ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину ) 2. Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования, но долг изменяется не равномерно ) 3 . Фиксированные платежи (платежи, которые чѐтко оговариваются в условии задачи)

Слайд 4

Дифференцированные платежи ( ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину ) Ключевые фразы: д олг должен быть на X тысяч рублей меньше долга на n-е число предыдущего месяца; n- го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на n-е число предыдущего месяца. Формула переплаты П- переплата S - сумма кредита r - процентная ставка n - промежуток времени

Слайд 5

S = 20млн, n=5, r=25%, П-? Период Долг % Сумма выплат Остаток 1 4 20∙0,25=5 9 16 2 4 16∙0,25=4 8 12 3 4 12∙0,25=3 7 8 4 4 8∙0,25=2 6 4 5 4 4∙0,25=1 5 0 Итого 20 15 35 Дифференцированные платежи (платежи , уменьшающиеся к концу срока, уменьшение суммы долга на одну и ту же величину )

Слайд 6

Критерии оценивания выполнения задания Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:— неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано 2 Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3 Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене ) следует из использования формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Слайд 7

Кристина и Карина увидели в магазине губную помаду редкого зеленого цвета стоимостью 5000 рублей. Чтобы купить помаду, Кристина в тот же день взяла в микрокредитной организации кредит на 5000 рублей под 1% в день сроком на 1 год (365 дней), причем ежедневные платежи по кредиту списывались с банковского счета Кристины и подбирались так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно. Сколько заплатит Кристина за помаду редкого зеленого цвета? S= 5000, n= 36 5 , r= 1 %, S n -?

Слайд 8

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей? S=16, r=25%, Sn =38, n-? П =38-16=22 Ответ: 10 лет

Слайд 9

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца . Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r . n=19, r = ? , Sn = 1 ,3 S, П= 0,3S Ответ: 3%

Слайд 10

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца . Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования? n=18, r=2%, Sn = xS , х-?, П-? Ответ: 119%

Слайд 11

Ключевые фразы: известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года ); он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей; кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 56 507 рублей. Аннуитетные платежи (платежи одинаковые, но долг изменяется не равномерно )

Слайд 12

Карина тоже купила зеленую помаду, в этот же день взяв кредит на сумму 5000 рублей. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 50% на оставшуюся сумму долга, и затем Карина переводит в банк очередной платеж. Известно, что Карина выплатила кредит двумя равными платежами . 11250-1,5х-х=0 11250-2,5х=0 х=4500 4500+4500=9000( руб ) Ответ:9 000 руб (Кристина заплатила 14 150 руб ) Долг Остаток 1 апреля 5000 1 мая 5000+2500=7500или 5000•1,5=7500 7500-х 1 июня (7500-х)•1,5 (7500-х)•1,5-х=0

Слайд 13

x- размер одного платежа, S - сумма кредита r - процентная ставка, k=1+0,01r Долг Остаток 1 год Sk Sk -х 2 год ( Sk -x )• k=Sk²-xk Sk²-xk-x= Sk²-x(k + 1) 3 год (Sk²-xk-x )• k= Sk ᶾ-xk²-xk Sk³-xk²-xk-x= Sk³-x(k² + k + 1) 4 год S -x(k³ + k² + k + 1) Аннуитетные платежи (платежи одинаковые, но долг изменяется не равномерно )

Слайд 14

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25  по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104800 рублей больше суммы, взятой в кредит? n=3, S n -S=104800 , r=25%, k=1,25=1¼,

Слайд 15

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на 13% по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли кредита банке, если известно, что кредит был выплачен двумя равными платежами , равными 5 107 600 рублей. n= 2 , х = 5 107 600, r= 13 %, k=1, 13, S -?

Слайд 16

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)? n=4, S=8 052 000, х - ? , r=20%, k=1,2 ,

Слайд 17

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами ( аннуитетные платежи). По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Слайд 18

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами ( аннуитетные платежи). n=3, S=331 000 , х -? , r=10 %, k=1,1 ,

Слайд 19

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода ? n=3 , S=331 000, х -? , r=10%, k=1,1 Более выгодно выбрать вторую схему, выгода составит 399 300-397 200=2 100( руб ) Ответ : 2100 рублей

Слайд 20

Фиксированные платежи ( долг уменьшается по заданным в таблице или в условии задачи параметрам) Ключевые фразы: выплатили за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей во второй 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Слайд 21

31 декабря 20 20 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 661,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису? S = 1000 тыс. руб. X 1 =560 тыс. руб . X 2 =644 , 1 тыс. руб . r-?

Слайд 22

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07 Долг (в млн рублей) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Слайд 23

S= 1 млн., n= 6 , r -? , S n <1 , 2 млн. П <0,2 Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07 Долг (в млн рублей) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Слайд 24

Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Долг(в млн рублей) S 0,8 S 0,4 S 0 В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг увеличивается на 2 0 % по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Слайд 25

n =3, r=20% =0,2 , x<5 млн. S — целое число Месяц и год Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019 Долг(в млн рублей) S 0, 8 S 0,4 S 0

Слайд 26

Месяц и год Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022 Июль 2023 Июль 2024 Долг(в млн рублей) S 0,8 S 0,6 S 0,4 S 0 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S , при котором общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей.

Слайд 27

Месяц и год Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022 Июль 2023 Июль 2024 Долг(в млн рублей) S 0,8 S 0,6 S 0,4 S 0 n= 4 , r=2 5 % =0,25=1/4 , S -целое, Sn <50 млн.

Слайд 28

Месяц и год Июль 2019 Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022 Долг(в млн рублей) S 0,7 S 0,4 S 0 В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг увеличивается на 2 5 % по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей Найдите наименьшее значение S , при котором разница между наибольшим и наименьшим платежом меньше 1 млн рублей.

Слайд 29

n=3, r=2 5 % =0,25=1/4 , Xmax - Xmin < 1млн. Месяц и год Июль 2019 Июль 2020 Июль 2021 Июль 2022 Долг(в млн рублей) S 0,7 S 0,4 S 0