Урок-проект по теме "Геометрическая вероятность", 8 класс.
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Разработка урока - проекта по алгебре в 8 классе (в контексте ФГОС ООО)

Урок - проект «Геометрическая вероятность»

Цель: Формирование представления у учащихся понятия о разнообразии графиков и ознакомление со сферами использования графического изображения информации в окружающем нас мире.

Тип урока: Урок получения новых знаний и первичного закрепления.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: 

- фронтальная; 

- групповая;

- индивидуальная.

Оборудование урока: Персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентации выступающих,

План урока:

1. Подготовительный этап (две недели);
2. Организационный момент (3 мин);
3. Выступление группы Историков (8 мин);
4. Выступление группы Теоретиков (7 мин);
5. Выступление группы Практиков (10 мин);
6. Выступление группы Исследователей (7 мин);
7. Подведение итогов и рефлексия (4 мин);
8. Выдача домашнего задания (1 мин).

Ход урока:

1. Подготовительный этап

За две недели до урока учитель предлагает учащимся темы проектов, которые необходимо разработать. Учитель может распределить темы и помочь сформировать группы учащихся, либо ученики всё это делают самостоятельно. Выбрав тему проекта, группа учащихся начинает работу над ним. Условно можно выделить следующие этапы работы над проектом:

2. Организационный момент

Учитель приветствует учащихся и настраивает их на работу. Группы учащихся готовятся к презентации своих проектов и подготавливают материал, который будет использоваться ими. Учитель берёт вступительное слово.

- Добрый день! Очень рада видеть вас. Вашему внимания я представляю вам группы «Историков», «Теоретиков», «Практиков» и «Исследователей». В течение двух недель вы подготавливали ваши проекты, перед каждой из ваших групп были поставлены вопросы, на которые вы должны были ответить, реализовав ваши проекты. Реализованные вами проекты – это различные аспекты темы «Геометрическая вероятность», помимо этого также группа Исследователей представит нам значение курса «Теории вероятности и математической статистики в школьном курсе математики».

В школе мы с вами не впервые сталкиваемся с задачами на нахождение вероятности или подсчёта статистических значений выборки. При решении задач на нахождение вероятности появления того или иного события мы пользуемся классическим определением вероятности, то есть находим отношение количества благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов. Однако есть такие задачи, в которых количество благоприятных исходов и количество всевозможных исходов бесконечно много. С такой проблемой можно столкнуться при решении таких хитрых задачек: «Какова вероятность того, что капля из протёкшей крыши попадет на стол, находящийся в комнате?».

Если мы пренебрежем размерами капли и будем считать ее соизмеримой с размерами точки на плоскости, то всевозможное количество исходов падения капли, и число благоприятных исходов будет бесконечным, и я очень сомневаюсь, что мы сможем их подсчитать.

Или, к примеру, как мы будем решать такую задачку на нахождение вероятности: «Есть веревка длиной 5 метров, первый метр верёвки выкрашен в красный цвет. За ночь веревку в случайном месте перегрызла мышь. Какова вероятность, что она перегрызла веревку в месте красного цвета?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Если мы будем считать место, которое перегрызла мышь достаточно маленьким и соизмеримым с размером точки на плоскости. То мы опять не сможем посчитать количество благоприятных исходов, ведь точек на отрезке длиною в пять метров бесконечно много, так же как и точек на отрезке длиной в один метр. И мы опять попадаем в затруднительное положение при подсчёте вероятности появления событий такого рода.

Для решения задач такого типа отводится целый раздел теории вероятности, основополагающим определением которого является геометрическая вероятность. Сегодня мы с вами в ходе защиты ваших проектов узнаем историю возникновения  и развития геометрической вероятности, познакомимся с теорией и закрепим на практике новый материал при решении задач, подобранных Практиками. Помимо этого, группа Исследователей представит вам доказательство немаловажного значения изученного нами раздела Теории вероятности и математической статистики в школьном курсе математики.

Я желаю всем удачи и успешной защиты ваших проектов! Итак, волнение в сторону, я уверена в вас, приступим к защите ваших проектов.

3. Выступление группы Историков

- Добрый день! Мы представляем вашему вниманию наш проект на тему «История возникновения и развития геометрической вероятности». Приступив к выполнению проекта, мы поставили перед собой цель: описать историю возникновения и развития геометрической вероятности. Для достижения поставленной цели мы поставили перед собой следующие задачи:

• Изучить и проанализировать имеющийся исторический материал;
• Выявить важные даты в истории геометрической вероятности;
• Перечислить ученых, занимавшихся изучением геометрической вероятности, и описать их вклад в развитие теории вероятности;
• Выделить наиболее известные задачи из работ ученых, которые привели к необходимости открытия геометрической вероятности;
• Дать краткую характеристику введения теории вероятности и математической статистики в школьный курс математики.

Ученик 1:

Раздел теории вероятности и, в частности, геометрическая вероятность прошла через длинный путь развития и становления как самостоятельного раздела математики. Для начала хотелось сказать пару слов об истории развития всего раздела теории вероятности, а потом уже перейти к более подробному анализу истории геометрической вероятности.

Теория вероятности возникла как наука еще в средние века и являлась результатом математического анализа очень известных на тот период азартных игр, таких как игральные кости, рулетка и подбрасывание монеты в спорах. Первоначально основные понятия теории вероятности не имели как такового строгого математического вида и обозначения. К ним относились как к эмпирическим фактам  и свойствам реальных событий, формулировавшихся в качестве наглядных представлений.

Одними из первых работ учёных, посвященных изучению области теории вероятности, считают работы учёных 17 века. Такие ученые, как Блез Паскаль, Христиан Гюйгенс и Пьер Ферма при изучении прогнозирования выигрыша при бросании костей открыли первые вероятностные закономерности азартных игр.

Ученик 2:

И ближе к первой половине 18 века учёные пришли к выводу о том, что классическое понятие вероятности, которое широко использовалось при решении задач, имеет ограниченную область применения и возникают такие ситуации, в которых оно не может использоваться. И по этой причине появилась необходимость в естественном расширении теории вероятности. Многие считают, что именно таким толчком для расширения являются работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707-1788). Однако, до выпуска в свет его работ  и даже за долго до его рождения в 1664 году появилась работа о фактической постановке вопроса нахождения геометрической вероятности.

Такой работой являлась работа известного физика – математика Исаака Ньютона. Именно он в своей работе первым указал на возможность применения геометрических вероятностей. Данная работа представляет собой  рукопись, написанную в период между 1664 – 1666. Он писал: «Если пропорция шансов иррациональна, то интерес (ожидание, выгода) находится таким же образом. Пусть шар падает на центр круга и оказывается в одном из двух его секторов, отношение площадей которых равно . Предположим, что в первом случае выигрывает игрок a, а во втором случае – b, тогда его вероятность на победу мы можем оценить как ». Для решения данной задачи использовалось первое упоминание геометрической вероятности.

Ученик 3:

В 1692 году была опубликована работа английского учёного Х. Гюйгенса, которая называлась «О   расчетах   в    азартных    играх». Работа была написана на английском языке и позднее была переведена на русский язык Д. Арбутнотом. При переводе работы Арбутнот в конце первой части от себя добавил несколько задач, среди которых были  задачи, формулировка которых, в отличие от задач самого автора, носила совсем иной характер.  В примечание к этим задачам он отметил их трудность и поместил в дополнении «для того, чтобы они были решены теми, кто считает такого рода проблемы достойными внимания».

Немаловажный вклад в историю развития теории вероятности внёс Якоб Бернулли. В своих работах он доказал закон больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В дальнейшем в 1735 году его сын Даниил Бернулли продолжил дело отца и воспользовался доказательством закона больших чисел отца в астрономическом контексте. Даниил Бернулли был не единственным, кто использовал в своих работах доказательства Якоба Бернулли.

В 1756 году Муавр вероятность для непрерывного равномерного распределения записал в виде отношения двух отрезков. Симпсон в 1757 году в своих работах отметил, что в случае непрерывного треугольного распределения вероятности пропорциональны площадям соответствующих фигур. В свою очередь Бейес, ввёл понятие непрерывного равномерного распределения и предположил, что при подсчёте вероятности падения мяча в любой из равных отрезков одна и та же.

Ученик 4:

И только в 1777 году Бюффоном было введено определение геометрической вероятности, которое заняло своё законное место в разделе теории вероятности. В своей работе он представил знаменитую задачу про иглу, вот её формулировка: «Игла длиной 2r падает случайным образом на пучок параллельных прямых, расположенных на расстоянии a > 2r друг от друга. Требуется определить вероятность того, что игла пересечёт одну из них». В работе Бюффон указал, что его основной целью было, ввести геометрию в свои права в науке о случае.

После того, как в 18 веке теория вероятностей обогатилась понятием геометрической вероятности, оно было максимально формализовано и воспринималось лишь интуитивно. И только в середине 19 века определение вероятности события стало определяться как отношение протяжённости благоприятных шансов к общей протяжённости всех шансов. В современном определении геометрической вероятности слово «протяженность» заменено четким математическим термином - «мера».

В свою очередь Чарльз Дарвин в 1881 при изучении дождевых червей, наблюдал, каким образом они затаскивают бумажные треугольники в свои норки, и искал в этом закономерность. Он исходил из того, что количество случайных захватов любой стороны бумажного треугольника червём пропорционально её длине.

Ученик 5:

Во второй половине 19 века основной вклад в развитие теории вероятности внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Таким образом, разработав данный проект и изучив материал по теме проекта, мы можем сказать, что теория вероятности и математическая статистика, прошли огромный путь развития и формирования, сформировалась в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Принятию решения о появлении вероятности и статистики в школе предшествовало длительное обсуждение в педагогической и научной среде. Только в 2003 году в содержание курса математики средней школы были включены элементы теории вероятностей и статистики, а в 2013 году была включена в государственный образовательный  стандарт.

- Таким образом, поставленные задачи и цель проекта выполнены. Спасибо за внимание!

4. Выступление группы Теоретиков

- Мы всех вас приветствуем. В свою очередь, наша группа Теоретиков хочет презентовать вам наш проект на тему: «Теоретические основы геометрической вероятности». Перед нами была поставлена следующая цель: описать теоретические сведения по геометрической вероятности. Для достижения поставленной цели, мы выделили следующие задачи:

• Изучить и проанализировать имеющийся материал по теме проекта;
• Обобщить имеющиеся знания по теории вероятности: выделить изученные ранее определения, аксиомы и теоремы;
• Изложить теоретический материал по геометрической вероятности;
• Рассмотреть доказательство основных теорем и аксиом.

Ученик 1:

Основные определения и аксиомы теории вероятностей.

Название раздела математики "Теория вероятностей" само по себе производит двоякое впечатление на учащихся: первое слово словосочетания «теория», оно ассоциируется с закономерной наукой, а с другой стороны, второе слово «вероятность» в повседневной жизни воспринимается как что-то неопределенное и незакономерное. И на первый взгляд, анализируя, таким образом, название раздела и не зная, что он изучает на самом деле, можно предположить, что раздел теории вероятности занимается изучением закономерности неопределённостей. Но на самом деле это совершенно не так. В настоящее время вероятность – действительно теория, математическая теория и возникла она из практической деятельности людей. Она отвечает на следующий вопрос: как часто будет происходить то или иное событие в последовательности наблюдений.

Изучая вероятность победы в азартных играх Христиан Гюйгенс в своей работе писал: «Раз в случайных явлениях закономерности наблюдаются, то их можно объяснить, а в идеальном случае – предсказать». В дальнейшем этот тезис развился в то, что называется теорией вероятностей – то есть в математическую дисциплину, которая в абстрактной форме изучает закономерности, присущие случайным явлениям. Она позволяет открывать и предсказывать новые факты теоретическим путем, без непосредственных наблюдений.

Ученик 2:

Понятие случайного события в разделе теории вероятности является основным. Дадим его определение.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в мишень при стрельбе или промах из оружия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Для нахождения вероятности случайного события A при проведении некоторого испытания следует:

1. найти число N всех возможных исходов данного испытания;
2. найти количество N(A) тех исходов испытания, в которых наступает событие A;
3. найти частное N(A)/N, оно и будет равно вероятности Р(А) события A.

Современная трактовка раздела теории вероятности основывается на нескольких  важных понятиях, основывающихся на наблюдении и четырёх аксиомах. Перечислим эти аксиомы:

Аксиома 1. Каждому событию A соответствует определенное число P(A), удовлетворяющее условию 0 ≤ P(A) ≤ 1 и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 3. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример: точку наудачу бросают в фигуру G на плоскости. Какова  вероятность  того,  что  точка  попадает в некоторую фигуру g, которая содержится в фигуре G.

Поскольку на плоскости бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу Р(А) = N(A)/N(ввиду бесконечно большого значения «N») и поэтому на помощь приходит другой способ, называемый геометрическим определением вероятности.

Ученик 3:

Всё очень похоже: вероятность наступления некоторого события А в испытании равна отношению Р(А) = g/G, где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию А исходов. На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.

Для геометрической вероятности, как и в классическом случае, определяется условная вероятность, независимость событий, справедливыми будут и теорема о вероятности суммы событий, и теорема умножения вероятностей, и формула полной вероятности, и теорема Байеса.

В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

5. Выступление группы Практиков

Ученик 1:

- Здравствуйте! Мы представляем вашему вниманию проект на тему: «Практическое применение геометрической вероятности». Для выполнения проекта мы поставили перед собой цель: научиться решать задачи на применение геометрической вероятности, для достижения которой были выделены следующие задачи:

• Изучить и проанализировать имеющийся материал по теме проекта;
• Выявить научные сферы, в которых используется практическое применение теории вероятности;
• Выделить типовые задачи на применение геометрической вероятности.

Научиться решать задачи на применение геометрической вероятности. Решение типовых задач на геометрическое определение вероятности.

Типичными        задачами,        на практическое применение геометрической вероятности являются задачи на попадание на отрезок, на площадь какой – либо фигуры, попадание в объем и задачи о встрече.

Задача        №        1.        На        отрезок        [0; 1]        наудачу        бросается        точка.        Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток [0,4; 0,7]?

Решение.

Для начала найдём общее число попаданий точки на единичный отрезок, для этого найдём длину всего отрезка: G = 1 – 0 = 1 ед. Затем определим, благоприятствующие исходы событию А, то есть найдём длину вложенного отрезка, в который должна попасть брошенная точка: g = 0,7 - 0,4 = 0,3 ед. Воспользовавшись геометрическим определением вероятности, найдём: Р(А) = g/G = 0,3 ед./1 ед. = 0,3.

Примечание к задаче: при оформлении задач на применение геометрического определения вероятности, для самоконтроля следует указывать размерность (метры, единицы, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). При подсчёте геометрической вероятности в конечном итоге геометрическая мера сокращается и получается привычная безмерная вероятность.

Ученик 2:

Задача № 2. Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами.

Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение.

Рассмотрим событие А, при котором длина обрезка составит не менее 0,8 м. Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: G = 1 м. Суммарная длина благоприятствующих событию A участков разреза равна: g = 0,2 + 0,2 = 0,4 м. По геометрическому определению вероятности определим вероятность события A: Р(А) = g / G = 0,4 / 1 = 0,4.

Примечание к задаче: при решении задач необходимо внимательно оценивать варианты равновозможных исходов и варианты исходов, благоприятствующих событию А. Небрежность, допущенная при подсчете вариантов, часто приводит к неверным расчётам. Например, в нашем случае при ошибке длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать не более 20 см, но искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого, поэтому Р(А) ≠ 20 / 100 = 0,2.

Ученик 3:

Задача № 3. На координатной плоскости задано множество точек G, удовлетворяющих системе неравенств (1) Из множества G случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяю неравенству: y < х + 3 (2).

Решение.

Построим в прямоугольной системе координат фигуру, удовлетворяющих системе неравенств (1). Можно заметить, что площадь прямоугольника, который задается неравенством (1) определяет общее число исходов и выражается следующим образом: G = S□ = 7*5 = 35 кв. ед. Все точки, расположенные внутри заданной по условию области (1) и удовлетворяющие неравенству (2) определяют собой фигуру, площадь которой является количественной оценкой исходов, благоприятствующих событию A. Её можно подсчитать следующим образом: g = SΔ = 0,5*AC*CB= 0,5 * 5 * 5 = 12,5 кв. ед.  По геометрическому определению вероятности: Р(А) = g / G = 12,5 кв. ед. / 35 кв. ед. = 0,357.

Примечание к задаче: при оформлении задач такого типа для наглядности следует решение сопровождать рисунком и при необходимости представлять  геометрическую меру равновозможных исходов и исходов, благоприятствующих событию А, выраженных условием (например, в виде неравенства), в виде построения в системе координат.

Ученик 4:

Задача № 4. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12:00 и 13:00. Студент, пришедший первым, ждет другого не больше 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча произойдет.

Решение.

Обозначим оси прямоугольной системы координат следующим образом:  x - момент времени прихода первого студента, y - момент времени прихода второго студента. Тогда x, y ∈[0;60]. По условию необходимо, чтобы встреча произошла между 12:00 и 13:00, то есть в промежуток времени, равный 60 минутам. Данное условие задаёт область G, которая является квадратом со стороной равной 60 ед. Условие того, что пришедший первым студент, ждет второго не больше 20 минут, на математическом языке можно записать следующим образом: |x - y| ≤ 20. И это условие задает область g: внутренней части квадрата, ограниченной двумя прямыми, проходящими под углом в 45 градусов через точки 20 ед. на осях  x и y. По геометрическому определению вероятности находим вероятность того, что встреча студентов произойдёт: Р(A) = g / G =(60*60 – 40*40)  / 60*60 / = 0,5.

Примечание к задаче: В задачах о встрече необходимо изобразить прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе строится квадрат со стороной равной интервалу времени встречи, при этом одна из вершин квадрата совпадает с началом координат, а его смежные стороны лежат на координатных осях. Общему множеству исходов будет соответствовать площадь данного квадрата. Далее на осях необходимо отложить время невозможного события (когда встреча не может произойти), и из этих точек провести две линии внутри квадрата под углом 45°. Множеству исходов, благоприятствующих встрече, соответствует площадь между этими линиями. Для ее вычисления из площади большого квадрата вычитают площади двух прямоугольных треугольников с помощью формулы S = 0,5*a*b, где a, b – длины катетов.

Ученик 5:

Практическое применение теории вероятностей.

В молекулярной физике с помощью теории вероятности объясняют тепловые явления, в электромагнетизме – проводящие и магнитные свойства тел, в оптике она позволила создать теорию теплового излучения, молекулярного рассеивания света. Вероятностные представления позволили быстро оформить математическое изучение явлений ядерной физики. Понимание природы химических реакций, динамического равновесия также невозможно без вероятностных представлений.

Астрономия в ряде своих разделов использует статистический аппарат. Звездная астрономия, исследование распределения материи в пространстве, изучение потоков космических частиц, распределение на поверхности солнца солнечных пятен (центров солнечной активности) и многое другое нуждается в использовании статистических представлений.

Биологи заметили, что разброс размеров органов живых существ одного и того же вида прекрасно укладывается в общие теоретико-вероятностные законы. Изучение таких значительных проблем биологии, как передача возбуждения, устройство памяти, передача наследственных свойств, вопросы расселения животных на территории, взаимоотношения хищника и жертвы требует хорошего знания теории вероятностей и математической статистики.

Многие проблемы педагогики и психологии также требуют привлечения вероятностно-статистического аппарата. Вопросы экономики не могут не интересовать общество, поскольку с ней связаны все аспекты ее развития. Непосредственно связаны с вероятностно-статистическими методами вопросы проверки качества изделий. Зачастую изготовление изделия занимает несравненно меньше времени, чем проверка его качества.

Практическое применение теории вероятностей велико. Эта наука позволяет получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, и она находит практическое применение в повседневной жизни. Таким же образом выступает группа практиков. Они рассматривают типологию задач на практическое применение геометрической вероятности. И представляют свои разработки.

6. Выступление группы Исследователей

- Здравствуйте. Мы хотим презентовать вам свой проект на тему «Роль и место теории вероятности и математической статистики в школьном курсе математики». Перед разработкой проекта мы поставили перед собой цель: выявить роль и показать значение теории вероятности и математической статистики в школьном курсе. Для достижения поставленной цели мы выделили следующие задачи:

• Изучить и проанализировать имеющийся материал по теме проекта;
• Причины введения раздела теории и математической статистики в школьный курс математики;
• Определить место и значение раздела в школьном курсе математики;
• Представить школьные учебные пособия, представляющие возможность изучения;
• Определить с какого класса начинается изучение раздела.

Ученик 1:

Современное общество развивается и не «стоит на месте», информационный и технологический прогресс, огромное количество информации, которую необходимо постоянно обрабатывать и сравнивать статистические данные, к тому же в нашу жизнь вошли банковские кредиты, диаграммы социологических опросов и многое другое. Общество всё глубже изучает себя и стремится сделать о самом себе прогнозы. Даже сводки погоды порою заставляют задуматься, сообщая нам, что завтра ожидается дождь с вероятность 40%, а всё-таки стоит ли брать с собой завтра зонт? И даже в этом случае нам необходимо оценить достоверность полученной информации и делать осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую недостоверной информации.

Учащиеся также сталкиваются с кругом проблем, связанных  с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», с выбором наилучшего варианта из нескольких, оценкой степени риска и шансом на успех. И возникает необходимость формирования у учащихся вероятностного мышления, умения извлекать, анализировать и обрабатывать информацию. Изучив материал по теме проекта, мы можем сделать вывод, что раздел теории вероятности и математической статистики является отличным способом решением проблем такого рода и поможет подготовить учащихся к ряду проблем, которые могут возникнуть в условиях современной жизни.

Ученик 2:

Теория вероятности и математическая статистика, пройдя огромный путь развития и формирования, сформировались в научные дисциплины позже большинства других разделов математики. Однако осознание важности этих разделов в различных областях человеческой деятельности в середине прошлого века поставило вопрос о включении элементов этих дисциплин в школьную программу. Элементы этого раздела входили в примерные программы по математике  советской  школы,  и  по  ним  в   1926   году   был  издан   учебник  С.П. Виноградова и другие учебные пособия. Но спустя некоторое время такие учебники стали применяться «на профилях» или на факультативах. Одним из мотивирующих факторов введения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в среднюю школу является их связь с реальной жизнью.

Принятию решения о появлении вероятности и статистики в школе предшествовало длительное обсуждение в педагогической и научной среде. И только в 2003 году в содержание курса математики средней школы были включены элементы теории вероятностей и статистики (7–9 и 10–11 классы). И в дальнейшем важность этого раздела в школьном курсе математики была отмечена в Концепции развития математического образования, принятой Правительством РФ в 2013 году и включена в государственный образовательный стандарт.

Ученик 3:

В 2004 году вышло первое в России регулярное учебное пособие «Теория вероятностей и статистика» для 7–9 классов, написанное авторским коллективом под руководством профессора Ю.Н. Тюрина. Авторы пособия сформировали целостный подход к содержанию, результатам, методам обучения и порядок обучения этой дисциплине в основной и старшей школе.

В школьном курсе изучение основных понятий статистики, должно проходить на элементарном уровне. Поэтому авторы ряда основных школьных учебных пособий предлагают начинать знакомство с разделами теории вероятностей и статистики именно со статистики: 1) материал описательной статистики (таблицы и диаграммы) прост для освоения учеников 7 класса; 2) при обсуждении реальных статистических данных хорошо иллюстрируется само понятие случайной изменчивости окружающего нас мира, тем самым готовится концептуальная база для понятий «случайный эксперимент» и вероятности различных исходов этого эксперимента; 3) показывается, как формализуются и описываются данные окружающего нас мира; 4) у учителей на простом материале есть возможность повторить и закрепить ряд тем, пройденных в школьном курсе ранее (скажем, проценты).

Ученик 4:

Вызывает недоумение тот факт, что раздел теории вероятности изначально начинал изучаться отечественными учёными-математиками на протяжении нескольких столетий лет, но история в курс математики средней общеобразовательной школы лишь относительно недавно начала вводиться вероятностно-статистическая содержательная линия. Е. А. Бунимович отмечает, что: «несмотря на то, что Россия до последнего времени оставалась единственной развитой страной мира, в школьном курсе которой отсутствует вероятностно-статистическая линия, все эти годы продолжалась экспериментальная работа учёных, методистов, педагогов по преподаванию основ вероятности и статистики в школе». Результат этой работы заключается в том, что на сегодняшний день все допущенные к использованию учебники математики содержат вероятностно-статистическую линию.

Изучение комбинаторики, статистики и теории вероятности начинается в 5 или 7 классах в зависимости от системы изложения, принятой в учебном пособии. Обучение можно условно разбить на три этапа – это пропедевтический (5 - 6 классы, ученики знакомятся с приёмами работы с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм, и решают несложные комбинаторные задачи), 7 - 9 (основной блок вероятностно-статистических знаний) и 10 - 11 классы (происходит систематизация пройденного материала). Также не стоит забывать, что задачи с вероятностным содержанием представлены в заданиях ОГЭ  (применение классического определения вероятности), ЕГЭ (на определения вероятности и пересечения событий) и математических олимпиадах.

Ученик 5:

В настоящее время предпринимаются попытки построения полноправной линии теории вероятности и математической статистики базового курса математики в рамках следующих учебных комплектов: «Математика 5» и «Математика 6» (под ред. Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина), «Алгебра 7», «Алгебра 8» и «Алгебра 9» (под ред. Г.В.Дорофеева). В указанных учебниках материал изложен чётко, простым языком и сделан упор на жизненный опыт учащихся.

В связи с введением в школьный курс математики новой вероятностно-статистической линии, включенной в учебники под редакцией Г.В. Дорофеева, особенно актуально стоит вопрос о формировании вероятностно-статистических представлений (ВСП), как существенного компонента математической культуры и научного мировоззрения учащихся, как фундамента дальнейшего обучения теории вероятностей и математической статистики на формальном уровне.

Таким образом, в ходе разработки проекта, нами были выполнены все поставленные задачи и достигнута основная цель проекта. Нами выявлена значимость раздел теории вероятности и математической статистики, было определено, что  этот раздел занимает значительное место в школьном курсе математики средней школы и активно развивается. Посредством материала этого раздела решается вопрос о формировании вероятностно-статистических представлений и мышления учащихся. При изучении этого раздела на уроках математики учащиеся приобретают умения, позволяющие жить в мире вероятностных ситуаций: умения извлекать, анализировать и обрабатывать информации, принимать обоснованные решения в ситуациях со случайными исходами.

7. Подведение итогов

Учитель вместе с учащимися подводит итоги, выставляет оценки и проводит рефлексию.

- Ребята, прежде чем оценить свою работу, ответьте для себя на вопросы. Что дала вам работа над проектом? Что нового вы узнали? Что показалось вам самым интересным в содержании выступления каждой группы? Что удалось вам в своей работе лучше всего? А что бы вы сделали по-другому?

М (мизинец) – мышление. Какие знания, опыт я сегодня получил?

Б (безымянный) – близость цели. Что я сегодня делал и чего достиг?

С (средний) – состояние духа, настроения. Каким было моё эмоциональное состояние? Настроение? Изменилось ли? В какую сторону?

У (указательный) – услуга, помощь. Чем я сегодня помог, чем порадовал или чему поспособствовал? Или мне в чем-то помогли?

Б (большой) – бодрость, здоровье. Каким было моё физическое состояние? Что я сделал для своего здоровья?

По окончанию защиты проекта учащиеся получают оценку за своё участия и индивидуальный вклад в общую командную работу над проектом от одноклассников и учителя.

8. Выдача домашнего задания

Учитель предлагает всем четырём группам в течение недели сделать стенгазету, представив на ней основную информацию всех четырёх проектов.