Элективный курс "Избранные вопросы математики"
рабочая программа по алгебре (11 класс)

Рабочая программа

элективного курса

 «Избранные вопросы математики»

(11 класс)

Оглавление

Цели курса:

• восполнить некоторые содержательные пробелы основного школьного курса по темам « Многогранники», «Уравнения и неравенства с модулем», «Метод координат в пространстве», «Задачи с параметрами»;
•  показать некоторые нестандартные приемы решения достаточно сложных стереометрических задач, неравенств и задач с параметрами;
• помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;
•  формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Задачи курса: научить учащихся решать стереометрические задачи c помощью векторов и координатного метода, уравнения и неравенства более высокой сложности, по сравнению с обязательным уровнем, овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования; приобрести определенную математическую культуру; помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс предполагает компактное и четкое изложение теории, решение типовых задач на изложенную теоретическую часть курса, самостоятельную работу, как на уроке, так и дома.

Предлагаемые задания различны по уровню сложности: от простых задач на применение изученных приемов до достаточно трудных задач, предлагаемых в части С на ЕГЭ по математике.

Планируемые результаты

Выпускник научится:

• Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства, уравнение, являющееся следствием другого уравнения, уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;
• владеть методами решения уравнений, неравенств и их систем, уметь выбирать метод решения и обосновывать свой выбор;
• использовать метод интервалов для решения неравенств, в том числе дробно-рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;
• решать алгебраические уравнения и неравенства и их системы с параметрами алгебраическим и графическим методами;
• владеть разными методами доказательства неравенств;
• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;
• владеть понятиями тригонометрические функции; строить их графики и уметь применять свойства тригонометрических функций при решении задач;
• применять при решении задач преобразования графиков функций;
• владеть понятиями: производная функции в точке, производная функции;
• вычислять производные элементарных функций и их комбинаций;
• исследовать функции на монотонность и экстремумы;
• строить графики и применять к решению задач, в том числе с параметром;
• Решать разные задачи повышенной трудности;
• анализировать условие задачи, выбирать оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;
• строить модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения при решении задачи;
• исследовать чертежи, включая комбинации фигур, извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную на чертежах;
• решать задачи геометрического содержания, в том числе в ситуациях, когда алгоритм решения не следует явно из условия, выполнять необходимые для решения задачи дополнительные построения, исследовать возможность применения теорем и формул для решения задач;
• уметь формулировать и доказывать геометрические утверждения;
• иметь представление о скрещивающихся прямых в пространстве и уметь находить угол и расстояние между ними;
• применять теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве при решении задач;
• уметь применять параллельное проектирование для изображения фигур;
• уметь применять перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач;
• владеть понятиями ортогональное проектирование, наклонные и их проекции, уметь применять теорему о трех перпендикулярах при решении задач;
• владеть понятиями расстояние между фигурами в пространстве, общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых и уметь применять их при решении задач;
• владеть понятием угол между прямой и плоскостью и уметь применять его при решении задач;
• владеть понятиями двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярные плоскости и уметь применять их при решении задач;
• владеть понятиями призма, параллелепипед и применять свойства параллелепипеда при решении задач;
• владеть понятием прямоугольный параллелепипед и применять его при решении задач;
• владеть понятиями пирамида, виды пирамид, элементы правильной пирамиды и уметь применять их при решении задач;
• владеть понятием площади поверхностей и объёмов многогранников и уметь применять его при решении задач;
• использовать основные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять опровержение;
• применять векторно-координатный метод при решении задач;

Выпускник получит возможность научиться:

• оперировать понятием определения, основными видами определений, основными видами теорем;
• свободно определять тип и выбирать метод решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля; тригонометрических уравнений и неравенств, их систем;
• решать основные типы уравнений и неравенств с параметрами;
• свободно владеть стандартным аппаратом математического анализа для вычисления производных функции одной переменной;
• владеть понятиями вторая производная,
• уметь применять для решения задач свойства плоских и двугранных углов, трехгранного угла, теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла;  
• владеть понятиями центральное и параллельное проектирование;
• применять при решении задач формулу расстояния от точки до плоскости;

Содержание курса

Уравнения и неравенства (16 часов).

1.Решения уравнений и  неравенств, содержащих модули (2 часа).

Раскрытие модуля по определению. Равносильность уравнений и неравенств. Совокупность

систем неравенств. Решение уравнений с использованием тождества .Теорема о знаках разности модулей двух выражений.

 2. Графический метод решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля (2 часа).

Построение графиков функций, содержащих знак модуля. Построение графика функции y = f (|x|). Построение графика функции y = |f(х)|. Построение графика функции y = |f(|х|)|. Геометрическая интерпретация уравнений вида /x-a/+/x-b/=c; /x-a/-/x-b/=c. Изображение фигур на плоскости, задаваемых неравенствами.

3. Графический метод решения уравнений и неравенств с модулями при наличии параметров(4 часа).

Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, с параметрами графическим методом.

4. Абсолютная величина в нестандартных уравнениях и неравенствах (2 часа).

Определение, свойства, геометрический смысл модуля, преобразование выражений, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей.

5. Решение тригонометрических неравенств (2 часа).

Графический способ решения тригонометрических неравенств. Использование тригонометрической окружности в решении неравенств. Использование периода функций при решении задач. Метод подстановки в решении тригонометрических неравенств.

6. Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств(4 часа).

Свойства монотонных функций. Теорема о корне. Сумма и разность монотонных функций. «Встречная» монотонность. Преобразование к монотонным функциям.

Стереометрия  (18 часов).

7. Проектирование. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми (4 часа).

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Алгоритм построения расстояния между скрещивающимися прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми. Составление алгоритма построения угла между прямыми; особенности построения угла между прямыми в пространстве.

Признак скрещивающихся прямых в пространстве, основные свойства.

Четыре метода вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми: 

-как длины построенного общего перпендикуляра

-как расстояния между построенными параллельными плоскостями, содержащими исходные прямые,

-как расстояния от точки на одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, на которой находится вторая скрещивающаяся прямая;

-метод ортогонального проектирования;

-алгоритм применения метода ортогонального проектирования.

8. Решение задач на вычисление углов и расстояний в пространстве векторно-координатным методом (4 часа).

Координаты точки и координаты вектора. Длина вектора. Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями. Нормаль. Направляющий вектор. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости.

9. Решение стереометрических задач на нахождение максимумов и минимумов (4 часа).

Нахождение наибольшей (наименьшей) площади сечений многогранников. Шары наименьшего (наибольшего) радиуса, помещенные в прямоугольный параллелепипед. Применение производной для нахождения экстремума. Комбинации тел. Нахождение наименьшего и наибольшего объема.

10. Необходимые и достаточные условия существования вписанной и описанной сферы для многогранника (4 часа).

  Сфера, вписанная в многогранник; сфера, описанная около многогранника. Шар, вписанный в многогранник; шар, описанный около многогранника. Комбинации шара с другими телами. Замечания о положении центра шара.

11. Вычисление объемов и площадей комбинации тел (2 часа).

Комбинации пространственных фигур, нахождение элементов вписанных и описанных цилиндров, конусов и сфер. Объёмы и площади поверхностей тел. Метод проецирования.

Использование свойств объема. Разбиение на простые тела.

Календарно-тематическое планирование

Заключение.

Итак,  программа элективного курса «Избранные вопросы математики»

поможет  у обучающимся 11-ых классов, которые проявляют интерес и способности к математике, сформировать умение решать задачи повышенного уровня сложности, выходящие за рамки программы школьного курса математики.

Список литературы.

1. Высоцкий В. С. Задачи с параметрами. – М.: Научный мир, 2011 (в электронном виде).
2. Кожухов Я.К. Уравнения и неравенства с параметром. – Москва, 2014 (в электронном виде).
3. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Методы решения неравенств с одной переменной. – Москва, 2011 (в электронном виде).
4. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Планиметрические задачи на вычисление и доказательство. – Москва, 2014 (в электронном виде).
5. Фарков А.В. Методы решения олимпиадных задач. 10-11 классы. – М.: Илекса, 2011.

Интернет-ресурсы.

1. www.alexlarin.net.ru 
2. http://mathus.ru/