Вторая производная
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс)

Слайд 1

Вторая производная, ее физический смысл. Применение производной к построению графиков функций

Слайд 2

Если производная f ' ( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x 0 ), то её производная называется второй производной функции f ( x ) в точке ( x 0 ), и обозначается f '' ( x 0 ).

Слайд 3

Функция f ( x ) называется выпуклой на интервале ( a , b ), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x 0 , f ( x 0 )), x 0 ( a , b ). Функция f ( x ) называется вогнутой на интервале ( a , b ), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x 0 , f ( x 0 )), x 0 ( a , b ). если f '' ( x ) > 0 для любого x ( a , b ), то функция f ( x ) является вогнутой на интервале ( a , b ); если f '' ( x ) < 0 для любого x ( a , b ), то функция f ( x ) является выпуклой на интервале ( a , b ) .

Слайд 4

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба .

Слайд 5

Рассмотрим график функции y = x 3 Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x , но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0 при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкой перегиба функции y = x 3 .