Преобразования графиков.
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс)

Слайд 1

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Слайд 2

ЦЕЛИ: Повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; Повторить способы задания функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы преобразования графиков.

Слайд 3

ПЛАН 1.Повторение Определение функции. Способы задания функции 2.Преобразование графиков функции Симметрия относительно оси у, f(x) → f( - x) Симметрия относительно оси х, f(x) → - f(x) Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) → f(x) + b Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f( α x), α >0 Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 Построение графика функции у = | f (x) | Построение графика функции у = f( | x | ) Построение графика обратной функции

Слайд 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у. Обозначение: у = f (х), где х –независимая переменная (аргумент функции), у –зависимая переменная (функция). Множество значений х называется областью определения функции.( D ) Множество значений у называется областью значения функции.(Е) D E y x y = f (x)

Слайд 5

Пример№1 у = √х – 2 + 3 При х = 6, у(6) = √6 – 2 + 3 = 5 Найдём область определения. х - 2 ≥ 0, х ≥2 ⇒ D (у) = [ 2; +∞); Так как по определению арифметического корня 0 ≤ √х – 2 ≤ +∞, 0 + 3≤ √х – 2 + 3 ≤ +∞+ 3, или 3 ≤ у ≤ +∞, Е(х) = [ 3; +∞)

Слайд 6

Пример № 2. Найти область определения и область значения функции f (x) = 3 + 1 . х-2 Функция определена при х - 2 ≠ 0, то есть х ≠ 2 ⇒ D (у) = (-∞;2) U (2; +∞); Так как при всех допустимых значениях х дробь 1/(х-2) не обращается в нуль, то функция f (x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому Е( f ) = (-∞;3) U (3; +∞);

Слайд 7

Пример №3 . Найти область определения дробно-рациональной функции f (x) = 1 + 3 х + 4 . х-2 (х - 1)(х + 3) Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1, х = -3. Поэтому область определения D ( f ) = (-∞; -3 ) U ( -3; 1 ) U ( 1 ; 2 ) U (2; +∞);

Слайд 8

Пример №4 . Зависимость 2 х – 3 х 2 + 1 Уже не является функцией. При х = 1, пользуясь верхней формулой, найдём у = 2*1 – 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим у = 1 2 + 1 = 2. Таким образом, одному значению х =1 соответствуют два значения у (у=-1 и у=2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией у(х) =

Слайд 9

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ Аналитический способ : функция задаётся с помощью формулы. Примеры: у = х 2 , у = ax + b Табличный способ : функция задаётся с помощью таблицы. Описательный способ : функция задаётся словесным описанием. Графический способ : функция задаётся с помощью графика.

Слайд 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)) у х 1 f (х 1 ) х 2 f (х 2 ) х

Слайд 11

Пример №5 . Дана функция у = 2 х – 3 | х | + 4. Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами а) (-2; -6); б) (-3; - 10) Решение. а) при х = -2, у = 2· (-2) -3· |-2| + 4 = - 4 - 3 · 3 + 4 =-6 Так как у(-2) = -6, то точка А(-2; -6) принадлежит графику функции. б) при х = -3, у = 2· (-3) -3· |- 3 | + 4 = - 6 - 3 · 3 + 4 =- 11 Так как у(-3) = -11, то точка В(-3; -10) не принадлежит графику функции

Слайд 12

Пример №6 . Дана функция f (х) = - х 2 + 6х – 8. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Решение. 1) Точка пересечения с осью ординат, при х=0, у(0) = - 0 2 + 6·0 – 8 = - 8. Получаем координаты этой точки А(0; -8) 2) Точка пересечения с осью абсцисс, при у =0, 0 = - х 2 + 6х – 8, х 2 - 6х + 8=0 , D = 36 – 32 =4, x 1 = (6-2)/2=2, x 1 = (6+2)/2=4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4;0)

Слайд 13

Симметрия относительно оси у f(x) → f( - x) Графиком ф-и у = f ( - х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси у. у = х 2 = (-х) 2 у=√х у = f ( -х ) у у у х х х у= f (х) у=√-х

Слайд 14

Симметрия относительно оси х f(x) → - f(x) График ф-и у = - f ( х ) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно оси х. у = х 2 у= - sinx у= f (х) у = - х2 у = - f ( х ) у= sinx у у у х х х

Слайд 15

Чётность и нечётность Функция наз-ся чётной, если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = f (х) График чётной функции симметричен относительно оси у Функция наз-ся нечётной , если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = - f (х) График нечётной функции симметричен относительно начала координат х у х у

Слайд 16

Параллельный перенос вдоль оси х, f(x) →f(x -а ) Графиком ф-и у = f ( х- a) получается парал – лельным переносом графика ф-и вдоль оси х на |a| вправо при а > 0 и влево при а < 0. | а | -3 0 2 у= sinx у=х 2 у у у х х х у=(х+3) 2 у=(х-2) 2 у= f(x -а ) у= f(x) у= sin(x- π /3 )

Слайд 17

Параллельный перенос вдоль оси у, f(x) → f(x) + b Графиком ф-и у = f ( х ) + b получается парал – лельным переносом графика ф-и у = f ( х ) вдоль оси y на |b| вверх при b > 0 и вниз при b < 0. у= f(x)-b у=х 2 х х х у у у у= sinx у= sinx+1 у= f(x) у=х 2 -2 у=х 2 +1 |b|

Слайд 18

Сжатие и растяжение вдоль оси х, f(x) → f( α x), α >0 График функции у = f ( α x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси х в α раз при α > 1 График функции у = f ( α x) получается растяже- нием графика функции у = f (x) вдоль оси х в 1/ α раз при 0 < α < 1 у= √х у= √х /2 у= sin1/2x у= sinx у= sin2x х х х у у у f( α x) f( α x) f ( x ) у=√х

Слайд 19

Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 График функции у = kf (x) получается сжатием графика функции у = f (x) вдоль оси y в 1/k раз при 0 < k < 1 График функции у = f ( α x) получается растя - жением графика функции у = f (x) вдоль оси y в k раз при k >1 у=1/2х 2 у=2 sinx у=1/2 sinx у у у= sinx х х х у= kf(x) у= kf(x) у= f(x) у

Слайд 20

Построение графика функции у= | f(x)| Части графика функции у = (х), лежащие выше оси х и на оси х остаются без изменения, лежащие ниже оси х – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх) 1 3 0 1 у у у х х х y=|log 2 x| y=|x 2 -4x+3| y=|sinx| y=log 2 x y=sinx y=x 2 -4x+3

Слайд 21

Построение графика функции у= f(|x|) Часть графика функции у = (х), лежащая левее оси х и на оси у удаляется, а часть, лежащая правее оси у - остаётся без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остаётся неизменной. у у y=x 2 -4|x|+3 х х y=x 2 -4x+3 y=sinx y=sin|x|

Слайд 22

Построение графика обратной функции График ф-и у = g( х ), обратной данной для функции у = f ( х ) , можно получить преобразованием симметрии графика ф-и у = f ( х ) относительно прямой у= х. 1 1 0 1 0 1 y=cosx -1 0 1 y=sinx у у у х х х у = 2 х y= log2x y=arcsinx y =arccosx

Слайд 23

Практическая часть: Построить графики функций: 1) y= sin(x-  ); 2) y= sin(x-  /4); 3) y= 2sin(x)-1; 4) y= -cos(x) 5) y= cos(x-  /2); 6) y= cos(x)-1; 7) y= 2cos(x+  /4)+1; 8) y = 2 arccos x

Слайд 24

Контрольные вопросы Дайте определение чётной, нечётной функций. Расскажите о способах задания функции. Что такое область определения? Что такое область значения? Как найти точки пересечения с осями координат? Какие свойства симметрии вы рассмотрели? Как проявляются свойства симметрии на графиках?