«Использование средних статистических характеристик при решении различных задач »
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

Урок-практикум

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДНИХ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ РЕШЕНИИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧ

Цели: продолжить формировать умение использовать средние статистические характеристики (размах, мода, среднее арифметическое, медиана) при решении различных задач (вычисление и интерпретация).

Ход урока

I. Устная работа.

1. Педагогический стаж восьми учителей школы, работающих в старших классах одной школы, следующий:

5 лет, 8 лет, 15 лет, 12 лет, 8 лет, 14 лет, 18 лет, 9 лет.

Найдите моду и медиану этой выборки.

2. Найдите среднее арифметическое и размах ряда:

2; 3; 5; 6; 14; 15; 17; 18.

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите медиану упорядоченного ряда:

а) ;

б) 11, 12, 18, 23, 29, 31, 37, 42.

2. Найдите медиану неупорядоченного ряда:

8, 11, 4, 17, 35, 21, 19, 50.

Вариант 2

1. Найдите медиану упорядоченного ряда:

а) ;

б) 0,5; 1,2; 1,8; 2,5; 3,5; 4,8; 5,1; 5,9.

2. Найдите медиану неупорядоченного ряда:

21, 13, 18, 11, 27, 32, 23, 41.

III. Формирование умений и навыков.

На данном уроке обобщаются знания по теме «Статистические характеристики». Учащимся предлагаются задания на нахождение всех характеристик и их интерпретацию в зависимости от условия задачи.

Сильным учащимся можно предложить для решения задачи повышенной сложности.

1. В  таблице  показано  число  посетителей  выставки  в  разные  дни недели:

Найдите медиану указанного ряда данных. В какие дни недели число посетителей выставки было больше медианы?

Решение:

Число членов в ряду п = 7. Для нахождения медианы упорядочим ряд: 604, 615, 625, 636, 638, 710, 724.

Медиана Ме = 636. Число посетителей было больше медианы во вторник, субботу и воскресенье.

Ответ: 636; вторник, суббота, воскресенье.

2. Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторого региона:

12,2;  13,2;  13,7;  18,0;  18,6;  12,2;  18,5;  12,4;  14,2;  17,8.

Для представленного ряда данных найдите среднее арифметическое, моду, размах и медиану. Что характеризует каждый из этих показателей?

Решение:

Число членов ряда п = 10. Упорядочим ряд:

12,2; 12,2; 12,4; 13,2; 13,7; 14,2; 17,8; 18,0; 18,5; 18,6.

Среднее арифметическое характеризует средний уровень значений и общую сумму всех значений:

Х = 15,08.

Мода Мо = 12,2 показывает значение, встречающееся чаще других (в данном случае слабо выражена, значение 12,2 встречается только 2 раза).

Размах A = xmax – xmin = 18,6 – 12,2 = 6,4 характеризует величину разброса наблюдаемых значений.

Медиана Me =  = 13,95 показывает, что половина членов ряда не превосходит по величине 13,95.

Ответ: 15,08; 12,2; 6,4; 13,95.

3. Девочки седьмого класса на уроке физкультуры при прыжках взяли высоты, величины которых (в см) учитель записал в журнал:

90;  125;  125;  130;  130;  135;  135;  135;  140;  140;  140.

Какая высота прыжка наилучшим образом характеризует спортивную подготовку девочек класса?

Решение:

Ряд наблюдений упорядочен: п = 11.

Ряд имеет две моды: Мо1 = 135, Мо2 = 140.

Среднее арифметическое ряда равно Х ≈ 129,5.

Медиана Ме = 135.

Наилучшей характеристикой спортивной подготовки девочек следует признать медиану: мода неоднозначна (135 и 140), а среднее значение занижено за счет одного очень плохого результата 90 см (если этот результат отбросить, то Х = 133,5 см).

Ответ: 135 см.

4. № 257*.

Решение:

а) Среднее арифметическое увеличится:  Х1 =  = x + 0,5.

б) Размах увеличится:  A1 = (xmax + 6) – xmin = (xmax – xmin) + 6 = A = 6.

в) Мода не изменится.

г) Медиана не изменится, так как в упорядоченном ряду, соответствующем исходному, величина и порядок членов не изменится, кроме величины последнего члена, что не влияет на величину медианы.

Ответ: а) увеличится на 0,5; б) увеличится на 6; в) нет; г) нет.

5. Владелец одного частного предприятия уволил бльшую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20 %. После этого он заявил, что средний заработок его рабочих повысился. Так ли это?

Решение:

Вычисляем средние статистические характеристики:

мода до увольнения Мо = 400;

мода после увольнения Мо = 800;

медиана до увольнения Ме = 400;

медиана после увольнения Ме = 800;

среднее арифметическое

                до увольнения X =  = 520;

                после увольнения X =  = 620.

Вычисления подтверждают, что средние характеристики действительно увеличились. Однако простой взгляд на таблицу подтверждает, что жизнь рабочих не улучшилась, а, наоборот, ухудшилась! Не говоря уже о тех, кто потерял работу. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая модель не всегда адекватна практической ситуации.

В данном случае средние характеристики не являются типичными представителями статистических данных, поэтому их использование приводит к ложному выводу.

Пример этой задачи показывает учащимся, что необходимо не только формально вычислять средние характеристики, но и уметь правильно истолковывать статистическую информацию.

IV. Итоги урока.

– Какие средние статистические характеристики вы узнали?

– Как вычисляются размах ряда? мода? Что они характеризуют?

– Как вычисляется среднее арифметическое ряда? Для чего служит эта характеристика?

– Как вычисляется медиана упорядоченного ряда с четным числом членов? нечетным? Что она характеризует?

Домашнее задание:

1. Найдите размах, моду и медиану ряда:

а) 1; 3; –2; 4; –2; 0; 2; 3; 1; –2; 4;

б) 0,2; 0,4; 0,1; 0,5; 0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,4; 0,6.

2. В вашем классе соберите данные о месяцах рождения учеников. Месяцы удобнее перечислять не по названиям, а по номерам.

Найдите: а) размах; б) моду; в) среднее арифметическое для экспериментальной выборки.

3. Для упорядоченного ряда, содержащего т чисел, где т – четное число, укажите номера двух последовательных членов, между которыми заключена медиана, если т равно:

а) 6;        б) 18;                в) 56;                г) 240.