Использование графических возможностей Excel для решения математических задач
методическая разработка по алгебре на тему

 Использование графических возможностей Excel для решения математических задач

Возможности ЭТ Microsoft Excel весьма многогранны. Всем известно, что Excel является мощным вычислительным инструментом, позволяющим производить простые и сложные расчеты в различных областях человеческой деятельности: математике, физике, инженерных науках, экономике, технологии. Но помимо осуществления расчетов возможно применение ЭТ Excel и в других областях. Данная статья посвящена использованию Excel для построения графиков элементарных и сложных функций, изучение графических способов решения уравнений и систем уравнений, а также построения трехмерных поверхностей.

              Построение графиков элементарных функций в Excel

Для построения графика функции в Excel прежде всего надо построить таблицу, в одну колонку которой занести значение аргумента функции, а в другую - значение функции при заданном значении аргумента.

Для этого в рабочем поле Excel в ячейках 1-й строки напечатаем наименование работы, во 2-ой строке – заголовок «Расчетная таблица», в 3-й – наименование колонок (столбцов) расчетной таблицы.

Начиная с ячейки А5 произведем формирование значение таблицы. Для этого необходимо в ячейку А5 ввести первое значение аргумента вычисляемой функции из заданного диапазона значений аргументов. В ячейку А6 введем второе значение аргумента, отличающееся от первого на заданный шаг изменения аргумента. Далее пометим эти ячейки и, ухватив указателем мыши квадратную точку в правом нижнем углу помеченной области ячеек, движением вниз по столбцу с нажатой левой кнопкой мыши рассчитаем значения аргумента с шагом, который  вычислил Excel по указанным первым двум ячейкам (рис.1).

Пометив ячейку В5, вычисляем первое значении функции, используя Мастер формул, и если функция проста, то записываем формулу вручную. Запись формулы в ячейку вручную следует начать со знака «=» и закончить нажатием клавиши Enter. Затем, используя квадратную точку помеченной ячейки, копируем формулу в остальные ячейки.

Для построения графика заданной функции по построенной таким образом таблице необходимо воспользоваться Мастером диаграмм. Следуя указаниям Мастера, выбираем форму диаграммы Точечная.

 Построение графика функции y=ax2+bx+c.

Построим график указанной функции при а-2, b=5, c=-10. Для построения графика функции будем изменять аргумент в диапазоне -5≤x≤2,5 с шагом 0,5.

Выполним последовательно все действия, описанные выше, сравнивая получаемый результат с рис.1.

На этапе отладки решения задач (который всегда имеет место) возникает необходимость коррекции параметров и исходных данных графика. Для коррекции следует:

Щелчком левой кнопки мыши пометить поле графика и правой кнопки мыши вызвать всплывающее меню;

Используя команды меню, произвести необходимые коррекции графика;

Для коррекции значений в ячейках расчетной таблицы пометить мышью ячейку, удалить из нее значение либо клавишей Delete, либо использовать всплывающее меню;

Для того, чтобы вызвать всплывающее меню, необходимо пометить нужную ячейку и внутри ячейки щелкнуть правой кнопкой мыши;

В меню  выбрать необходимую команду для удаления информации в ячейке;

Затем записать новую информацию, закончив запись нажатием клавиши Enter.

 Построение графиков функций y=sina и y=cosa в одной системе координат.

Рассмотрим пример построения графиков функций y=sina, y=cosa в одной системе координат.

Сначала построим график одной из функций, например y=cosa, выполнив все указанные выше действия по построению графика. Следует отметить, что аргументом тригонометрических функций является угол, выраженных в радианах. Поэтому в расчетной таблице появилась колонка «Арг.Рад.», в которой угол пересчитан в радианы.

Для того, чтобы поместить еще один график(или несколько) в ту же координатную систему, следует:

Пометить левой кнопкой мыши поле графика и правой кнопкой мыши вызвать всплывающее меню;

Выбрать в меню команду Исходные данные;

Выбрать в окне Исходные данные команду Ряд, затем Добавить и в строках окна записать имя ряда;

Скопировать из таблицы значения ряда, пользуясь кнопкой в правом конце строк значений, предварительно удалив записи в них, если таковые имеются.

Построение графиков сложных функций в полярных координатах.

                    Определение полярной системы координат.

До сих пор изучалась и использовалась система координат плоскости, образованной двумя пересекающимися прямыми. Попробуем определить положение некоторой точки В в плоскости, образованной прямой и самой точкой В.

Отметим на некоторой физической плоскости (например на листе бумаги) точку В. Из некоторой точки О, которую будем называть полюсом, проведем луч в направлении слева направо и будем называть его полярной осью. Соединим полюс с точкой В и будем называть этот отрезок полярным радиусом. Отметим угол между полярной осью и полярным радиусом. Тогда местоположение точки В на плоскости определится полярным радиусом r и полярным углом а. За положительное направление полярного а будем считать направление против часовой стрелки, а полярный радиус будем  считать всегда неотрицательным. Это записывается в виде В(r,a) (рис.3.).

. 

Всякой точке этой системы будет соответствовать единственная пара полярных координат и наоборот – по заданной паре полярных координат определяется местоположение точки на плоскости.

            Переход от полярных координат к декартовым и обратно.

Если полярную и декартову прямоугольную системы совместить так, чтобы начало их координат совпадали, полярная ось совпадала с положительным направлением оси абсцисс прямоугольной системы, то  независимо от расположения точки В на плоскости получим формулы перехода от полярных координат r, a к декартовым  х, у:

          (1)

 и от декартовых к полярным:

             (2)

Уравнения (1) называются параметрическими.

Обратимся к рис.3.Задавая угол α, будем получать точки на расстоянии r от полюса, которые при достаточно большом их количестве образуют окружность. Посмотрим внимательно на рис.2. В расчетной таблице графиков функций есть данные для построения окружности в полярных координатах.

При равных значениях полярного радиуса r имеем окружность, при различных – эллипс. Если ввести коэффициенты n и m в аргумент параметрических уравнений окружности различными их значениями, то получим фигуру Лиссажу, одна из которых показана на рис.6.

Построение графиков сложных тригонометрических функций, заданных полярными или параметрическими уравнениями.

Введем в параметрические уравнения окружности коэффициент n и m при аргументе а, произведем соответствующие расчеты в расчетной таблице и построим график (рис.6).

При внимательном рассмотрении кривой графика можно отметить участок, состоящий из прямых линий. Это произошло потому, что шаг задания аргумента функции слишком большой (20 градусов). При задании меньшого шага, например 1 градус, этот недостаток устраняется.

Зададим полярный радиус в виде функции того же аргумента, что и параметрических уравнениях, и сформулируем задачу.

Задача. Построить график функции, заданной в полярных координатах, с полярным радиусом r=sinka при k=2.

Все технологии построения графика аналогично рассмотренной в предыдущих примерах. Для формирования расчетной таблицы данной задачи вводим столбец для расчета значений полярного радиуса (рис.7).

Заменим коэффициент k при аргументе а  полярного радиуса на 3 и пересчитаем данные в расчетной таблице. Построим график по расчетной таблице (рис.8).

Для того, чтобы кривая была более достоверна, при построении этого графика был уменьшен шаг изменения аргумента.

Сравните расчетные таблицы рис. 7 и 8.

Естественно, что уменьшением шага аргумента при расчете полярного радиуса увеличивается точность построения кривой. Этот эффект появляется и необходим, когда значения коэффициента k достаточно велики (например при k=10).

Внимательно присмотревшись к графикам кривых на рисунке 7 и 8, можно заметить, что эти кривые вписаны в окружность (так как в основе лежат параметрические уравнения расчета значений координат х и у окружности). Введем в параметрические уравнения коэффициенты n и m, как это было сделано при построении фигур Лиссажу, и построим несколько кривых

Графическое решение уравнений и систем уравнений

К графическому способу решения уравнений и систем уравнений прибегают тогда, когда сложно или практически невозможно решить аналитически уравнение или систему уравнений.

Идея графического решения уравнений проста. Для решения следует построить график функции в прямоугольной декартовой системе координат и определить точки пересечения кривой с осью абсцисс (осью Х). Эти точки дают приблизительное значение корней заданного уравнения (т.е. значение аргумента, при котором значение функции равно нулю). Далее решения уравнения уточняется расчетным методами подстановкой найденного графически значения аргумента в исходное уравнение. Расчеты прекращаются при достижении заданной точности решения уравнения. Эту работу можно провести на компьютере.

Графическое решение уравнений вида y=ax2+bx+c.

При  а≠0,  b≠0. c≠0 это многочлен второй степени, геометрический образ которого – парабола. Известно, что судить о том, имеет ли данное уравнение решение, следует по значению дискриминанта Если , то уравнение имеет два различных решения, при - два равных по значению решения и при  уравнение не имеет решений.

Пример. В качестве примера рассмотрим графическое решение уравнения .

Помеченные строки в расчетной таблице являются результатом уточнения прочитанного на графике решения уравнения. Для уточнения определим диапазон существования решения по графику функции и расчетной таблице, а именно:

 -1,41<-1,3; -0,82<-0,7; 0,33<0,4; 1,84<1,9.

Затем в найденные диапазоны расчетной таблицы вставляем строку и производим уточнение найденного значения «методом проб и ошибок», добиваясь минимального (близкого к 0) значения функции при уточняемом значении аргумента. На рис. 10 уточненные значения решения уравнения помечены в расчетной таблице.

Графическое решение системы уравнений.

Если система уравнений легко разрешима аналитически, то не имеет смысла решать ее графически. Однако встречаются такие системы, решать которые аналитически крайне трудно. Для практических целей важно находить приблизительные решения таких систем с необходимой точностью. В таких случаях графический метод является весьма полезным средством. Поясним сказанное на примерах.

Решим систему уравнений:

Подставляя второе уравнение в первое, получим:

Решение этого уравнения представляет значительные трудности и выходит за рамки элементарной алгебры. Поэтому обратимся к графическому методу.

Графически первое уравнение представляет собой окружность с радиусом, равным 3, центром в начале координат. Второе уравнение системы графически представляет собой параболу с ветвями вниз, и осью, параллельной оси ординат.

Построим эти кривые в одной координатной системе. Начнем с построения графика окружности. Найдем у из первого уравнения системы: Таких значений два для каждого значения аргумента х. Следовательно, рассчитываем две колонки в расчетной таблице – у1 и у2. Значение аргумента х при расчете значений у первого уравнения системы должно лежать в пределах -3≤х≤3. Шаг изменения аргумента был взят равным 0,1, что определило точность построения графика функции первого уравнения системы и нахождения результата решения.

Выполняя уже знакомые нам технические операции, строим кривую второго уравнения системы. Для того чтобы график выглядел компактным, значения аргумента были взяты в меньших пределах, чем предыдущие (см. расчетную таблицу на рис.11).

Точки пересечения кривых первого и второго уравнений системы определят ее решение. Таких точек четыре, значения их координат можно приблизительно определить на графике.

Итак, получаем графическое решение системы уравнений в виде четырех пар координат точек пересечения кривых графика:

х≈- 1,2          2) х≈- 0,5          3) х≈1,6      4) х≈2,3

     у≈- 2,75            у≈2,98               у≈2,6         у≈-1,92

  Полученный графический результат решения системы уравнений может быть уточнен до заданной погрешности. Для этого необходимо подставить значения координат точек пересечения, например, в первое уравнение системы: (-1,2)2+(-2,75)2=9, то 1,44+7,56 т.е. уточнить не надо.

Рис.3.

В(r,a)

O

a

А(х,у)

Y

y

O

x

a

r

X