Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
план-конспект урока по математике (8 класс)

МОУ Ефимовская основная  общеобразовательная школа

Урок алгебры в 8 классе

Тема:  Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дата:  14.02.2018

Учитель: Семина Марина Николаевна

Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если
хотите научиться решать задачи,
то решайте их.
Дж. Пойа

Цели урока:

Обучающая:

• закрепление понятия дробного рационального уравнения;
• составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающая

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений;
• развитие умения принимать решения.

Воспитательная:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Задачи:

1. Актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

2. УУД:

• Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;
• Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;
• Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свю точку зрения;
• Личностные: развитие навыков сотрудничества со сверстниками.

3. Воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: презентация, конспект урока, компьютер

Ход урока

1. Организационный момент

Сегодня у нас необычный урок. У нас присутствуют гости, и на уроке мы немного попутешествуем. Тему нашего урока мы сформулируем вместе, я приготовила вам подсказку в виде ребуса, отгадав его вы сможете, сказать чему будет посвящен наш сегодняшний урок.

Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений. Сегодня на уроке мы должны составить алгоритм решения дробных рациональных уравнений. Эпиграфом к нашему уроку я выбрала слова Дж. Пойа: «Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их».  решать задачи мы будем путешествуя по островам с заданиями. Итак, начинаем наше путешествие.

2. Актуализация знаний

Первый остров «Теоретик». Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Какие уравнения называются дробными рациональными?
2. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

От острова теоретик отправляемся на остров «Практик». Здесь побывал двоечник он выполнил задание, которое предназначалось вам и теперь нам нужно его проверить и исправить ошибки.

При каких значениях переменной выражение имеет смысл:

Остров «Исторический». Историческая справка (сообщение учащихся).

Квадратные уравнения в Индии (см. стр. 22 «История математики в школе» Г.И.Глейзер). Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный, Брахмагупта (VIIв.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единой канонической форме: ах2 +bх =c, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме  а, могут быть и отрицательными.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая
Власть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…,
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение:

(x/8)2 + 12 = х

Бхаскара решает так:

х2 – 64х = -768

х2 – 64х +322 =-768+322

(х-32)2 =256

х-32 = ±16

х1 =16; х2 =48

Остров «Вспомни». 

Необходимо заполнить таблицу, где а, b – коэффициенты квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0; D - его дискриминант, N - число корней уравнения и х1, х2 - корни этого уравнения.

Остров «Посчитай-ка».

Остров «Формул».

Для того что бы решать задачи нам необходимо вспомнить формулы. На доске составить формулы для нахождения пути, времени, скорости, скорости при движении по реке по течению, против течения. Пока один человек работает у доски, остальные на местах собирают домино из формул.

3. Объяснение нового материала.

Остров «Новый». На этом острове нам нужно решить задачу. У вас на столах лежит лист с задачей,  краткая запись уже частично сделана, вам необходимо решить задачу с помощью уравнения.(Один человек составляет уравнение на интерактивной доске)

Задача 1

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 60км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 5 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Уравнение;

(В тетрадях сделать подробную запись решения.)

720(х+10) – 720х= х (х+10)

Ответ; 80км/ч

Вопросы по решению;

1. Что означает дробь 1/12?
2. Сравните дроби 60/х и 60/(х+10)
3. Являются ли корни полученного уравнения решениями задачи?

Физкультминутка.

4. Первичное закрепление.

Задача №618. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение. Составление математической модели:

х км/ч  скорость первого автомобиля;

(х +20) км/ч – скорость второго автомобиля;

 - время первого автомобиля;

 - время второго автомобиля.

Согласно условию,

.

Работа с составленной моделью.

Решив полученное уравнение, находим , . -60 не удовлетворяет  условию задачи. 40+20=60 км/ч

Ответ на вопрос задачи.

5. Выполнение контролирующего задания по изученной теме

Остров «Сам». Самостоятельная работа. Тест.

Работаем хорошо, но чтобы получить полное удовлетворение от своей проделанной работы, надо проверить, как мы научились ее делать. Для этого вам предлагаю решить небольшой тест.

(Ученики работают индивидуально. Выполняют задания, по истечении определенного времени обмениваются работами и проверяют ответы с ключом теста, который находится на экран. Выставляют оценку друг другу в оценочный лист).

Ключ к тесту:

6.Итог урока

Остров «Копилка». У каждого из вас есть математическая копилка которая находится в голове сегодня вы должны положить в неё алгоритм решения задач с помощью дробных рациональных уравнений. Давайте сформулируем его.

Алгоритм решения задач с помощью дробных рациональных уравнений:

1.Читаем задачу несколько раз;

2. Составляем краткую запись (таблицу);

3. Составляем математическую модель задачи;

4. Работаем с составленной модели;

5. Отвечаем на вопрос задачи (записываем ответ).

7. Домашнее задание.

Остров «Дом».

Домашнее задание: № 619, № 620. Придумать условие задачи к уравнению:

.

8. Рефлексия.

На уроке мы совершили небольшое  путешествие по математическим островам и научиться решать задачи с помощью уравнений. Это путешествие подошло к концу.

Самоанализ урока по алгебре  в 8 классе по теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»

Учитель Семина М.Н.

Урок алгебры (УМК Ю.Н.Макарычева) на тему «Решение задач с помощью дробно- рациональных уравнений» проведён в 8 классе. Это урок изучения нового материала, урок проходит  в форме путешествия.

Решались три задачи:

Задачи:

1. Актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

2. УУД:

• Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;
• Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;
• Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свю точку зрения;
• Личностные: развитие навыков сотрудничества со сверстниками.

3. Воспитывать чувство товарищества.

Задачи определялись целью урока

 Цели урока:

Обучающая:

• закрепление понятия дробного рационального уравнения;
• составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;
• проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающая

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
• развитие интеллектуальных умений;
• развитие умения принимать решения.

Воспитательная:

• воспитание познавательного интереса к предмету;
• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Достижению цели урока соответствовали 8 этапов урока.

1. На организационном этапе формировались регулятивные УУД,

2.На этапе актуализации знаний формировались познавательные и коммуникативные УУД

3. На этапе объяснения нового материала была рассмотрена задача. Краткая запись уже частично была сделана, надо составить уравнение и решить задачу. Уравнение дробно- рациональное с целью создания алгоритма для его решения и повторения решения квадратного уравнения.

Динамическая пауза 

4. На этапе Первичное закрепление.

Решение задачи с помощью дробно - рационального уравнения, направленное на закрепление алгоритма решения такого уравнения  и решения полного квадратного уравнения

5.На этапе Выполнение контролирующего задания по изученной теме  

 Был использован тест с  взаимопроверкой

 6. Итог урока

 Сформулирован алгоритм решения задач с помощью дробных рациональных уравнений

  7. Рефлексия.

 Выбор структуры и темпа проведения урока обосновывается тем, что урок должен быть эмоциональным, вызывать интерес, воспитывать познавательную потребность.

Для достижения поставленной цели урока мной был выбран такой его ход, который позволяет развивать интеллектуальные умения учащихся, необходимых не только в учебе, но и в обычной жизни:

На уроке ставились задачи контроля общих умений решать алгебраическую задачу, понимать условие текстовых  задач и составлять математическую модель,

Для того чтобы заинтересовать учащихся, урок был построен в виде путешествия Учащиеся с удовольствием приняли предложенную форму работы.

   Урок прошел согласно разработанному плану, за исключением временных рамок,

 Считаю, что цель урока была достигнута, и все поставленные задачи удалось решить на оптимальном уровне. Ребята с интересом и увлеченно работали на всех этапах урока и даже там, где испытывали некоторые трудности.