Особенности введения темы «Решение задач с помощью дробно- рациональных уравнений».
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Особенности введения темы «Решение задач с помощью дробно- рациональных уравнений».

                                                                      Закирова И.С., учитель математики

                             высшей кв. категории

МБОУ «Шеморданский лицей»

Текстовые задачи в математике играют очень важную роль. Их решение способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

 И естественно, что одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

В курсе математики 5 – 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.

Остановимся на некоторых основных вопросах пропедевтической работы по составлению уравнений при решении текстовых задач.

Такая работа в основном осуществляется в 5 – 6 классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в 1 – 4 классах.

Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык.

Но даже если предположить, что учащиеся неплохо поняли, как решать задачи по математике «с уравнением», умеют «выкачивать» всю информацию из задачи и записывать её в виде математических выражений «с иксом», то как только речь заходит о задачах  на движение, работу, сплавы и смеси т.е. задачах, решаемых с помощью дробно-рациональных уравнений или систем уравнений,  – у абсолютного большинства учащихся они «не идут»… А умение решать задачи с помощью дробных-рациональных уравнений является показателем высокого владения уровня математических знаний, подготовленности к ЕГЭ, ГИА.

Итак, как же можно подготовить учащихся к решению задач с помощью дробно- рациональных уравнений? Естественно, это должна быть систематическая планомерная работа, которую необходимо начинать уже с пятого класса.

Прежде чем перейти к самим задачам , необходимо систематически например, в форме «математического диктанта» повторять с учащимися математическую запись  выражений типа:

 на  больше  

 в пять раз больше 

 на  меньше, чем 

 меньше  в  раза

 на  меньше, чем 

частное от деления  на  в полтора раза больше 

квадрат суммы  и  равен 

 составляет  процентов от 

 больше  на  процентов

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах  и . Из года в год можно наблюдать парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на  больше ». ,  в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы.  Кстати, очень удобно применять структуру КО «Simultaneous Rally Table», когда два ученика одновременно выполняют работу, а  по окончании передают работы друг другу на проверку.

Важным моментом также  является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменению величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений.

Достигается это с помощью соответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в 5 классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения – увеличение числа в несколько раз. Здесь для достижения указанной цели возможны следующие упражнения:

1)  Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет? (4m)

2)  На первых двух полках стоит по n книг на каждой, а на третьей – m книг. Сколько книг на трех полках? (2n+m)

3)  Сравните a и c, если а = 5с (а больше с в 5 раз или с меньше а в 5 раз).

4)  Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в n раз (х = nу).

5)  Составьте задачу по уравнению 2х = 28 (Например: «В корзине было несколько грибов. После того, как в нее добавили столько же, в ней стало 28 грибов. Сколько грибов было в корзине?»)

 Так как  решение  дробно-рациональных уравнений  в конечном итоге сводится к решению квадратного или линейного уравнения, то также необходимо постоянно отрабатывать навыки их решения.  Для этой работы как нельзя подходит структура «Rally Coach», когда один ученик выполняет работу, а другой контролирует, а при необходимости, и тренирует его. При применении этой структуры целесообразно формировать пары по принципу «сильный- слабый».

К очень  важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся до того, как настает время изучения задач на дробно-рациональные уравнения,  относятся и следующие:

·  умение внимательно читать текст задачи,

·  умение проводить первичный анализ текста задачи – выделять условие и вопрос задачи,

·  умение оформлять краткую запись текста задачи,

·  умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

Итак, наши дети хорошо подготовлены и мне, учителю, необходимо не только научить их решать задачи на «движение», «работу», «смеси»,  а, что более важно, убедить их в том, что это достаточно просто. Необходимо лишь уметь читать задачу, «выудив» из условия все самое важное, компактно и конкретно записывать данные, выяснять, что же брать за «икс», записывать в виде соотношений все данные условия, составлять уравнение, и, снова прочитав задачу, грамотно отвечать на поставленный в ней вопрос.  

На первый взгляд, задач бесконечное множество, и невозможно запомнить формулы для их решения. Но стоит присмотреться, чтобы увидеть, например, что скорость измеряется в метрах в секунду или километрах в час, цена - в рублях за единицу товара (шт., кг и т.д.), производительность - в объеме работы за единицу времени и т.д. Значит, скорость вычисляется делением расстояния на время, цена - делением стоимости всего товара на количество, производительность - делением всего объема работы на время и т.д. То есть получается, что все задачи - однотипные, если, конечно, понимать, о чем идет речь в задаче. Правда, для этого надо прочитать условие хотя бы 3 раза. А если ничего не понятно- еще 3 раза.  При решении многих задач я учу своих учеников пользоваться «волшебной» таблицей.

И так далее, и тому подобное.

Важно соблюдать порядок заполнения таблиц, чтобы в первом столбике была «скорость» (она же – цена, производительность, плотность), во втором- «время» (оно же - количество), в третьем- «путь» (он же - стоимость, работа, масса).

Рассмотрим пример задачи на «совместную работу» (почему- то такие задачи «пугают» учащихся намного хуже, чем на движение)..

Задача 1.  Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч., а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Заполняем таблицу (читаем несколько раз задачу и вносим в таблицу все числа, которые есть в условии):

Это пока все данные, по которым совершенно невозможно решить задачу.

Вспоминаем, что математики знают всё. А всё, что они не знают, можно обозначить через х, у. Так как работу обозначаем «единицей», остается производительность первого обозначить через х, а второго- через у.

А третий столбик всегда получится из соотношения уже записанных величин.

 Появляются новые данные в таблице:

Если  ученик может самостоятельно заполнить таблицу, значит, он умеете «выудить» из сказанного всю информацию, а не только «голые числа»,  что, кстати, немаловажно и в повседневной жизни.

Снова читаем условие и записываем, что :

«Известно, что работая по очереди, они выполнят заказ». Где подобное встречается в задачах на движение? «Идя навстречу друг другу, пешеходы встретятся через…То есть, вместе они преодолеют весь путь». Вместе преодолеть путь и вместе выполнить работу- это по сути одно и то же! Путь = скорость*время. Работа = производительность*время. Теперь понятно первое уравнение:

х*9+у*4=1.

По аналогии вспоминаем, что скорости при движении навстречу складываются, т. е.:

х+у=1/6.

Решив систему уравнений, получим:        х= 1/15;    у= 1/10.

Это значит, что время выполнения заказа первым мастером - 15 часов, а время второго мастера - 10 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Важно научить ребят перечитывать условие задачи, для того, чтобы дать компетентный ответ.

Итак, на мой взгляд, весь процесс решения задачи можно разделить на следующие этапы:

анализ задачи;

схематическая запись задачи;

поиск способа решения;

осуществление решения с помощью уравнения, системы и т.д.;

проверка решения задачи;

исследование задачи;

анализ решения

формулирование ответа задачи;

Естественно, в реальном процессе решения задачи этапы не имеют четких границ, и ребенок, не всегда выделяет их, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом «проб и ошибок», игнорирование других (например, проверки решения задачи) – к получение неверного ответа и т.д.

Выделенные этапы  служат той ориентировочной основой, опираясь на которую учитель сможет сформировать у учащихся навыки решения задач.

Конечно, невозможно научить любого ребенка решать любые задачи, ибо как бы хорошо ученик не умел решать задачи, всегда может встретиться такая, которую он решить не сможет.

Ясно, что рассчитывать на изображение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях – все равно, что искать универсальное лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности.

В качестве примера хочу привести конспект одного из уроков, который я провела со своим любимым 8 «Г».

Технологическая карта урока математики  в 8 классе.

Автор: Закирова Ильсеяр Салихзяновна, учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ «Шеморданский лицей Сабинского муниципального района РТ»

Учебник (УМК): Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др., Алгебра 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2012

Тема урока:   «Решение задач с помощью  рациональных  уравнений»

 Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Оборудование: интерактивная доска, задания для выполнения структуры «Релли Коуч»,  карточки «Билетик на выход», фрагмент мульфильма «В стране невыученных уроков»»

Структуры КО, применяемые на уроке: «Релли Коуч», «Сималтиниус Релли Тэбл», «Билетик на выход».

Характеристика учебных возможностей и предшествующих достижений учащихся класса, для которого проектируется урок:

Учащиеся владеют

• регулятивными УУД:

формулировать вопросы по теме на основе опорных (ключевых и вопросительных) слов (2 уровень);

преобразовывать практическую задачу в учебно-познавательную совместно с учителем (2 уровень);

• познавательными УУД:

собирать и выделять информацию, существенную для решения проблемы, под руководством учителя (2 уровень);

У большинства учащихся не сформированы:

• коммуникативные УУД:

высказывать свою точку зрения по инициативе учителя;

• личностные УУД:

осуществлять рефлексию своего отношения к содержанию темы.

Цели урока как планируемые результаты обучения, планируемый уровень достижения целей:

Структура и ход урока

 Приложение1. Структура «Релли Коуч»

Реши уравнения:

1. 2х2 +6х-4=0                                                                                                   1. 6х2 -7х+1=0                      

2.   4х2 -100=0                                                                                                   2.    6х2 -225=0                          

3.    8х2 -х+1=0                                                                                                  3.         7х2 +2х+4=0                        

4. 2х2 +6х=0                                                                                                      4.       3х2 +9х=0                              

Приложение2  . «Билетик на выход 3-2-1»                                                                                          

3 самых важных момента для тебя  на сегодняшнем уроке

1.________________________________________________    

2. ________________________________________________  

3. ________________________________________________

2 момента, на которые ты хотел бы уделить внимание дополнительно

1.__________________________________________________

2. _________________________________________________  

1 главное чувство, которое ты испытываешь после этого урока

1._________________________________________________