Урок по теме "Степень с отрицательным целым показателем"
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Сценарий урока

Тема урока: «Степень с отрицательным целым показателем»

8 класс

  Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока: сформировать понятие степени с отрицательным целым показателем, умение читать и записывать выражения, содержащие  степени с отрицательным целым показателем; формировать умение находить значение числового выражения, содержащего степени с отрицательным целым показателем

Общеобразовательный аспект.

1. Продолжить формирование общеучебных умений и навыков:

• умение планировать свою деятельность при решении задач;
• умение контролировать свою деятельность при решении задач;
• умение рассуждать, обобщать, делать выводы;
• умение выполнять задания вычислительного и аналитического характера на всех этапах урока;
• умение работать по образцу и в сходной ситуации при первичном закреплении.

2. Продолжить формирование специальных умений и навыков:

• умение работать с учебником при объяснении нового материала;
• умение проводить решения, пользуясь теоретическими сведениями.

        Развивающий аспект.

1.  Продолжить развитие умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изученные факты, выбирать рациональный  способ решения.

2.  Продолжить развитие логического мышления.
3.  Развивать познавательный интерес учащихся к предмету.

Воспитательный аспект.

Реализовать комплексный подход к воспитанию.

1.        Воспитание воли, умение доводить начатое до конца, преодолевать трудности.

2. Формировать самооценку знаний, критическое отношение к себе,  творческую активность, аккуратность, дисциплину, внимание.
3. Расширять представление об окружающем мире.

Оборудован: мультимедийное, презентация.

Методы обучения: 

• по источнику приобретённых знаний – словесные, практические, наглядные;
• по уровню познавательной активности – проблемный, частично-поисковый.

Ход урока

1. Организационный момент.

- Добрый день, дорогие ребята! Давайте улыбнемся друг другу и пусть хорошее настроение сохраниться у вас в течение урока, но при этом будьте внимательны. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе. 

2. Актуализация знаний

- Перед вами числа. На какие группы мы можем разбить эти числа?  

(-2)3  0,4;   ;   33   5; -2,15;   (1/7)2;     ;   -6;  (-6)2

(ответ: на числа и числа, записанные в виде степени)

- Для каждого числа, записанного в виде степени, назовите показатель и основание степени

- Дайте определение степени с натуральным показателем.

(Ответ. Произведение n одинаковых множителей, равных a. (Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называют произведение п множителей, каждый из которых равен а.)

- Что можно сказать о виде числа n?

Ответ. n – натуральное число.

- Найдите значение выражений записанных в виде степени

(-8, 27, 1/49, 36)

Запишите в виде степени и вычислите: а) 23·22; б)57:54; в)(23)2; г) 100 д) 42:45

- Что нужно вспомнить для выполнения этого задания

(ответ: свойство степеней с натуральным показателем)

- Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями

(Ответ: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем, а основания оставляют прежними. )

- Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями

(Ответ: При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычисляют показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.    )

- Сформулируйте правило возведение степени в степень

(Ответ: При возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют прежним )  

- Чему равна степень числа а с показателем 0

Ответ: Для любого числа а, не равного нулю, а0=1

 (ответы: 25=32,     53=125,     26=64,   1,     4-3)

3. Постановка проблемы.

-  Почему не смогли выполнить последнее задание? Сформулируйте свое затруднение.

(Ответ: Мы не знаем, что означает отрицательная степень и какое число получится. Мы не можем вычислить значение выражения, так как не знаем, как возводить число в отрицательную степень).

- Сформулируйте тему урока

(Ответ: Степени с целым отрицательным показателем.)

-Откройте тетради запишите число, классная работа,  тему урока.

- Какая цель стоит перед нами?   

(Ответ: научится находить значение степени с отрицательным показателем)

- Какие задачи вы поставите? Что для этого нужно сделать?

(Ответ: 1.Определить – что называется степенью с отрицательным показателем?

2. Узнать, как возводить число в отрицательную степень.

3.Научиться применять новые знания при  решении заданий.)

4.  Открытие учениками нового знания.

- Чтобы решить 1 задачу, где мы можем найти информацию

(Ответ: В учебнике.)

- Открываем учебник страница 59-60

- Сформулируйте правило вычисления степени с отрицательным показателем

Запишите в тетради формулу:

a-n = l/an, a≠O, n-натуральное число

Историческая справка.

Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англичанин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесообразности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В одном из писем в 1676 г. Ньютон указал: "Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А2, А3 и т.д., так я ... вместо 1/а, 1/а2, 1/а3 пишу а-1, а-2, а-3и т.д."

- Имеет ли смысл выражение 0-5?

(Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

- 0n имеет смысл только при положительных значениях n.

- Мы определили, что называют степенью с отрицательным показателем?

(ответ: да, a-n = l/an, a≠O, n-натуральное число)

- Итак, как возвести 4-3?

Ответ:  4-3=1/43= 1/64

5. Физкультминутка
6. Первичное усвоение новых знаний 

- Мы выполнили 2 задачу, поставленную перед нами?

(ответ: да, мы узнали, как вычислить степень с отрицательным показателем)

- Какая 3 задача перед нами стоит

( ответ: Научиться применять новые знания к решению заданий)

- Для этого я предлагаю вам следующие задания

1. Первичное закрепление.

 Представьте степени в виде дробей с положительными показателями. (Один ученик у доски выполняет задание 1 и 2, делает самооценку)

а) 8-3= 1/83, (а + b)-2, (ab)-3.

замените дробь степенью

б) 1/67 = б-7;

1/у7 = у-7;

1/7 = 7-1.

- А теперь возьмите на столах карточку красного цвета с заданием для работы в парах. Выполните задание.

- Представьте степени в виде дробей с положительными показателями  с 1 по 3 задание.  - Заменим дробь степенью с 4 по 6 задание

 - Ответы впишите в таблицу.

-

- А теперь проверим получившиеся ответы по образцу

- Оцените свою работу с этим упражнением

- А сейчас займемся вычислениями (Один ученик у доски, самооценка)

4-2= 1/42= 1/16;

(2/3)-3 = 1/(2/3)3 = 27/8 = 3 3/8;

0,01-2 = (1/100)-2= 10000.

- Возьмите на столах карточку сиреневого цвета с заданием для работы в парах. Выполните задание в тетрадях

- Откройте белый конверт и проверьте свою работу с помощью эталона для самопроверки.

- Оцените свою работу

- Подведем промежуточный итог, Как возвести число в отрицательную степень?

7. Самостоятельная работа

- а теперь предлагаю вам выполнить самостоятельную работу по вариантам

Вариант 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ;      б) ;       в);       г) ;        д)

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 5-7;        б) 7-1;         в) а-11;     г) х-1;      д) (2у)-5

3. Вычислите:

а) 2-3;        б) (-5)-1;      в) ;       г) (0,2)-3;      д) ;     е) 6-1+2-2;       ж)    2780 – 0,1-2.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (а3 +3а4 – а6) : (3 – а2 + а—1)

5. Известно, что 3у=а. Найдите: 32у; 33у+1; 3-у; 92у

Вариант 2

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ;      б) ;       в);       г) ;        д)

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 7-3;        б) 2-1;         в) у-10;     г) с-1;      д) (3а)-4

3. Вычислите:

а) 3-2;        б) (-5)-2;      в) ;       г) (0,1)-4;      д) ;     е) 8-1+6-2;       ж)    4560 – 0,1-3.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (х4 +2х6 + х7) : (2 + х + х—2)

5. Известно, что 5п=в. Найдите: 53п; 52п-1; 5-п; 253п

8. Этап контроля и оценки. Итог урока (рефлексия деятельности)

- Все ли задачи поставленные в начале урока мы смогли решить?

– Что нового вы сегодня узнали?

- По какому правилу следует возводить числа в отрицательную степень?

-  А я бы хотела подвести итог нашего урока словами известного математика Вейерштрасса:

«Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем

– Проанализируйте свою работу на уроке. Поднимите смайлик с улыбкой, если вы поняли, что такое степень с отрицательным целым показателем и у вас всё получалось на уроке; смайлик с нейтральной улыбкой, если вы поняли, что такое степень с отрицательным целым показателем , но на уроке допускали ошибки и смайлик с грустным лицом, если вообще не понял, о чём шла речь на уроке числа.

9. Домашнее задание

§ 8 .  № 233, 235,241,244

Подготовить сообщения по теме: « История развития понятия  степень»

Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Урок окончен. До свидания!

История возникновения степени числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление идут первыми в списке арифметических действий. У математиков не сразу сложилось представление о возведении в степень как о самостоятельной операции, хотя в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья встречаются задачи на вычисление степеней.

В своей знаменитой «Арифметике» греческий учёный Диофант описывает первые натуральные степени чисел так: «Все числа… состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато-квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны, далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя».

Немецкие математики Средневековья стремились ввести единое обозначение и сократить число символов. Книга Михеля Штифеля «Полная арифметика» сыграла в этом значительную роль.

Но математики продолжали искать более простую систему обозначений степени, так как её обозначения были не удобны.

Француз, бакалавр медицины Никола Шюке смело ввёл в свою символику не только нулевой, но и отрицательный показатель степени. Он писал его мелким шрифтом сверху и справа от коэффициента.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса и Исаака Ньютона.

Степень с отрицательным показателем

Вариант 1

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ;      б) ;       в);       г) ;        д)

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 5-7;        б) 7-1;         в) а-11;     г) х-1;      д) (2у)-5

3. Вычислите:

а) 2-3;        б) (-5)-1;      в) ;       г) (0,2)-3;      д) ;     е) 6-1+2-2;       ж)    2780 – 0,1-2.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (а3 +3а4 – а6) : (3 – а2 + а—1)

5. Известно, что 3у=а. Найдите: 32у; 33у+1; 3-у; 92у (дополнительное задание)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Степень с отрицательным показателем

Вариант 2

1. Замените дробь степенью с целым отрицательным показателем:

а) ;      б) ;       в);       г) ;        д)

2. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

а) 7-3;        б) 2-1;         в) у-10;     г) с-1;      д) (3а)-4

3. Вычислите:

а) 3-2;        б) (-5)-2;      в) ;       г) (0,1)-4;      д) ;     е) 8-1+6-2;       ж)    4560 – 0,1-3.

4. Представьте в виде дроби и сократите: (х4 +2х6 + х7) : (2 + х + х—2)

5. Известно, что 5п=в. Найдите: 53п; 52п-1; 5-п; 253п (Дополнительное задание)

Эталон для самопроверки

Или

Эталон для самопроверки

Или