комбинаторные задачи, 9 класс
план-конспект занятия по алгебре (9 класс)

§18. Комбинаторные задачи. Теория

Определение1. Случайный эксперимент ( случайное испытание) – любое действие, которое можно повторить большое количество раз в приблизительно одинаковых условиях.

Определение 2.  Результат этого эксперимента- исход – случайное событие.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать  m  способами, а объект В можно выбрать n  способами независимо от выбора А, то выбор пары (А,В) можно сделать mn  способами. Т.е. выбрать « и А и В» можно по правилу умножения.

Пример 1.

Сколькими способами можно составить дорожные знаки из:

геометрических фигур :

буквы и цифры.

Решение:

1. Геометрическую фигуру можно выбрать – 4 способами.
2. Букву можно выбрать независимо от геометрической фигуры -33 способами.
3. Цифру можно выбрать независимо от г.ф. и буквы – 10 способами.
4. Тогда тройку (Ф,Б,Ц) можно выбрать  - 4  33 10 = 1320 способами
5. Ответ: 1320 фигур.

Пример 2.

Учитель подготовил к контрольной работе карточки. В каждую карточку входит по 1 заданию на изученные темы:

4 примера на линейные неравенства

5 текстовых задач (2-е на движение; 3-и на совместную работу)

6 примеров на квадратные уравнения ( в 2-х уравнениях D  0)

Вопрос: Сколько всего вариантов карточек можно составить?

Решение:

1, выбрать линейное неравенство можно – 4 способами

2. выбрать текстовую задачу можно независимо от неравенства – 5 способами

3. выбрать квадратное уравнение можно независимо от выбора неравенства и задачи – 6 способами.

4. выбрать тройку (Н,З,У) моно по правилу умножения – 4  5 6 =120 способами.

Ответ: 120 карточек

Вопрос: Сколько существует вариантов, в которых встречается задача на движение?

1. Выбор в 1 и з пунктах остаются неизменными.
2. Выбрать задачу на движение можно 2-мя способами
3. Выбрать такую тройку можно по правилу умножения.

4 6 = 48 карточек.

Ответ: 48 карточек.

Вопрос: Сколько существует способов составления карточек, в которых у квадратного уравнения будут корни, а задача- на совместную работу?

Решите самостоятельно.

Правило сложения. Если объект А можно выбрать m способами, а объект В – n  способами, причем ни один из способов выбора А не совпадает с каким- нибудь выбором В, то выбор «А или В» можно сделать по правилу сложения: m +n

Пример. В урне 19 шаров: 5 красных, 6 синих, 8 желтых. Ученик достает из урны каждый раз один шар.

Вопрос: Сколько существует способов выбора красного или синего шара?

Решение:

Т.к. стоит связка «или», т о пользуемся правилом сложения 5 + 6 = 11

Ответ 11 способов

Изменим вопрос. Сколько существует способов выбора 2-х шаров разного цвета?

Решение:

1. Выбор пары (К,С) найдем по правилу умножения 5
2. Выбор пары (К,Ж) также 5
3. Выбор пары (С,Ж) аналогично, 6  8 =48.
4.  Выбрать 2 шара разного цвета мы сможем по правилу сложения

30 + 40 + 48 = 118.

Ответ: 118

Определение 3.  Произведенbе  n -  первых натуральных множителей называется

n - факториал. Запись  1   3   n =  n!

 Внимание:           0! = 1          1! = 1      n! = (n- 3)!  (n -2)(n – 1)n.

Примеры:

1) 6 =30 ; 2) 12! – 10! = 10! (12  - 1) = 10!  131 = 3628800  131.

Перестановки

Определение.  Пусть из множества, состоящего из n  различных элементов, мы составляем упорядоченные наборы , состоящее из  n  элементов.

Каждый такой набор называется перестановкой. Общее число перестановок из n  элементов обозначается Рn  = n !

Задача 1. Сколько пятизначных номеров можно составить из цифр 0,1,2,3,4?

Решение:

1.Можно решать методом организованного перебора или составить дерево возможных вариантов.

2. Так как номер телефона может начинаться и с цифр 0, то нам необходимо составить все пятерки из данных пяти цифр. Понятно, что цифры могут повторяться.

Например, одна такая пятерка (0,1,2,3,4), другая – (0,1,2,3,0)

А всего таких пятерок  Р5  = 5!= 120 вариантов

Ответ: 120 номеров

          Задача 2. К хозяину пришли гости А,В.С,Д,Е.  Все сели за круглый стол.

           Вопрос: Сколько существует способов рассадки гостей, включая хозяина?

Решение: Р6 = 6! = 720 вариантов

Вопрос: Сколькими способами можно рассадить гостей, если место хозяин известно?

Решение:

Одно место занято, остается 5 человек на пять мест. Р5 =5! =  120

Ответ : 120 вариантов

Вопрос: Сколько существует способов рассадки, если гостя А следует посадить рядом с гостем Е?

Решение:

1. Усаживаем гостя А – 6 вариантов
2. Гость Е может сидеть от а как справа, так и слева – еще 2 варианта.
3. Остается 4 гостя на 4 места  - Р4 = 4! = 24
4.  Тогда общее количество мест найдем по правилу произведения

6 24 = 288

Ответ: 288

Сочетания

Определение.  Пусть из множества, состоящего из n  различных элементов. Мы из него выбираем  к элементов. Причем порядок  выбора не играет роли. Тогда каждый такой набор называется сочетанием. Общее количество таких наборов обозначается Сnк  =

Внимание.  С100  = С1010 = 1 ; С101 =С1010 = 10 ;  С102 = С108 =

С n2 =

 Задача 3. В классе 27 учеников. Из них надо выбрать 3, чтобы они приняли участие в турнире по теннису. Сколько существует таких способов?

Решение:

Порядок выбора не играет роли, поэтому это С273 = 2925 вариантов.

Ответ: 2925 вариантов

Размещения

Определение. Пусть из множества, состоящего из n  различных элементов.

Мы из него выбираем  к элементов, причем важен порядок выбора.

Каждый такой набор называется размещением. Количество всех размещений обозначается Аnk =

Аnk  = Сnк  k!

Задача 4. В ящике находится 6 карточек с цифрами 1.2.3.4.5.6. Вынимают три карточки. Сколько трехзначных чисел можно составить при таком выборе?

Порядок выбора важен, т.к. число  123 и 132 – это разные числа.

Поэтому количество всех выборов А63 =  = 120