ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

        Итоговая работа   ГБУ ДПО ЧИППКРО / май 2017 /

        ЗАДАЧИ НА СПЛАВЫ И КОНЦЕНТРАЦИЮ

В современном мире множество отраслей, связанных с химией, например такие, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность, медицина, фармакология и т.д. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой, так как приходится решать задачи на процентное содержание в продукте питания, металле, лекарстве, косметике и т.д. тех или иных веществ.

         Задачи на смеси, сплавы, растворы  при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задачи данного типа, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся. Поэтому на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.

Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:

•  Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
•          При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
• Процент - одна сотая любого вещества.  
• Производительность объекта - скорость работы 
• Процентным содержанием ( концентрацией)  вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.  
• Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
•  Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.

Все задачи на «смеси, сплавы, растворы» можно разделить на три типа:

• на вычисление концентрации;
• на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);
• на вычисление массы смеси (сплава).

Существуют следующие способы решения задач:

• с помощью таблиц;
• с помощью схемы;
• старинным арифметическим способом;
• алгебраическим способом;
•  с помощью формулы.

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

• Изучить условия задачи;
• Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);
• определить все взаимосвязи между данными величинами;
• Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;
• провести анализ результата.

Различные способы решения задач.

1. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г -30%-го)

I способ         

Пусть  граммов масса I раствора, тогда

Составим и решим уравнение:

  Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

II способ

Пусть масса первого раствора  граммов,

масса второго раствора граммов.

Cоставим и решим систему двух уравнений с двумя переменными:

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

III способ (способ креста)

Составим схему

В левой колонке схемы записаны процентные содержания марганца в имеющихся растворах.

Посередине – процентное содержание марганцовки в полученной смеси.

В правой – разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси (вычитаем из большего числа меньшее и записываем на ту диагональ, где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое).

Исходя из схемы, делаем вывод: в 200г смеси содержится 14 частей 10%-го раствора и 6 частей 30%-го раствора.

Найдем их массы:

1) 200:(14+6)14=140г;

2) 200:(14+6) 6=60г.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

IV способ (способ, который предлагает нам Евгений Ефимович Вольпер)

Составим уравнение:   0,1х + 0,3(200-х) = 0,16200;

                                         0,2х = 28;

                х = 140.

Ответ:140г-10%-го и 60г-30%-го.

2.  В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)

Решение: Заполним таблицу по условию задачи:

 - доли  основноговещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества (м) в смеси к общей массе смеси (М), , - измеряется в долях, процентах.

Ответ: 16%.

Задачи на понижение концентрации.

3. Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)

Решение:

Пусть  кг  воды надо добавить, тогда

Масса сахара не изменилась, то составим уравнение и его решим:

0, 15(40+) = 0,1840;

                  = 8.

Или:

Составим и решим уравнение:

Или:

40 кг сиропа составляет 15 частей

18% раствор составляет 3 части

1. 40:15  3 = 8 (кг)

Ответ: 8(кг)

4. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)

Решение:

Пусть г марганцовки надо добавить, тогда

Составим и решим уравнение:

 0,35 =   0,1(325+);

  = 130.

Ответ: 130 граммов.

Задачи на высушивание.

5. В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90кг)

Решение:

Пустькг свежих грибов надо собрать, тогда

Составим уравнение:

 0,3  =  0,9 30;

 0,3 = 27;

         = 90.

Ответ: 90кг.

Задачи на повышение концентрации.

6.  Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)

Решение: Пусть кг меди нужно добавить к сплаву, тогда

Составим уравнение:

0,4536 +  =  0,6(36+);

0,4   = 5,4;

          = 13,5.

Ответ: 13,5кг.  

                             Задачи на смешение растворов разных концентраций.

7.  При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)

Решение: Пусть г масса первого раствора кислоты, тогда (140-)г масса второго раствора, получим

Составим и решим уравнение:

0,05+0,4(140-)=0,3140,

0,35=14,

=40.

Ответ: 40 г 5%-го и 100 г 40%.

8. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)

Решение: Пусть концентрация одного раствора %, а другого %, -массы растворов во втором случае. Заполним таблицу:

0,01+=0,472;

Составим систему уравнений:

Ответ: 60% и 34%.

9.  Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)

Решение: Пусть л – вместимость сосуда, тогда

1)

2)

3)

4)

Составляем уравнение:

Ответ: 10литров.

10. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)

Решение: Пусть л – вместимость бутыли, тогда

1)

 Составим и решим уравнение:

Ответ: 2 литра.

Задачи на понижение концентрации.

1. Сироп содержит 18% сахара. Сколько кг воды нужно добавить к 40кг сиропа, чтобы содержание сахара составило 15%? (8кг)
2. Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки надо добавить к 325г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%? (130г)
3. Сколько кг 5%-го раствора соли надо добавить к 15кг 10%-го раствора той же соли, чтобы получить ее 8%-ный раствор? (10кг)
4. Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта? (40г нашатырного спирта и 60г воды)

Задачи на высушивание.

5.  В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (90 кг)
6. Собрали 8кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили, их влажность составила 20%.Чему равна масса цветков ромашки после сушки? (1,5кг)
7. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (90%)
8. На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище? (48т)
9. Сколько кг нужно выпарить из 2т раствора соли, содержащего 85% воды, чтобы получить25% раствор соли? (800кг)

Задачи на повышение концентрации.

10. Сплав массой 36кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый сплав содержал 60% меди?(13,5кг)
11. Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если к нему добавить  массы серебра, содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и процентное содержание серебра в нем?

Задачи на смешение растворов разных концентраций.

12. При смешивании 5% и 40% растворов кислоты получили 140граммов 30% раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г – 5%, 100г-40%)
13. Имеются два сосуда, содержащие 30кг и 35кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов. (60% и 34%)
14. Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80% раствора той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5л смеси и снова долили 2,5л 80% раствора. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда. (10литров)
15. Из бутылки, наполненной 12% раствором соли отлили 1литр и долили водой, затее отлили еще 1литр и опять добавили водой. В результате в бутыли оказался 3% раствор соли. Какова вместимость бутыли. (2л)
16. В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганата калия). В нее добавили 60г 30% раствора марганцовки. Определите процентное содержание марганцовки в полученном растворе. (16%)
17. Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го растворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки? (140г 10%-го и 60г 30%-го)
18.  При смешении 5%-го и 40%-го растворов кислоты получили 140г 30%-го раствора кислоты. Сколько грамм каждого раствора было взято? (40г 5%-го и 100г 40%-го)
19. Один раствор содержит 20% соли, а второй-70%. Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100г 50%-го солевого раствора? (20%-го 40г, 70%-го 60г)
20. При смешении 10% -го раствора с 5%-ым раствором получено 5кг 6%-го раствора. Сколько каждого раствора было взято? (1кг 10%-го, 4кг 5%-го)
21. В сосуд налито 4л 70%-го раствора кислоты. Сколько нужно добавить 90%-го раствора кислоты, чтобы получить 75%-ый раствор?
22. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше нужно взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди? (2 раза)
23. Имеются два сплава раствора кислоты, содержащих соответственно 0,8 и 0,4л воды. При их сливании получили 76%-ый раствор. Найти объемы исходных растворов, если известно, что концентрация первого из них на 20% выше второго.(?)