Презентация к уроку алгебры 9 класс Перестановки и факториал
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Тема: Перестановки

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

                      забега на 5-ти беговых дорожках?  

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая      

                      цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно  Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

            Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                

                       девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          

                  варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        

                  считаются разными, поэтому:

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                      6, 7, 8, 9  при условии, что в записи числа каждая цифра используется только                

                      один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из  

                  трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

                  расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

                  и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

                  элементов по три.

                  По формуле числа размещений находим:

Ответ:  504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  

                     человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

                   возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из  7

                   человек. Искомое число способов равно 

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                       распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

                                                                Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                       10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                        побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

                                                                                   Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                       зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

                  второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из    

                  оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

                  Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

                                              Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.                                                                                                                                                                Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                      время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:   способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10. В 9  классе учатся 7 учащихся, в 10  - 9 учащихся, а в 11  - 8 учащихся. Для

                       работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

                       трех – из 10,  и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора  

                       учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

                  первой совокупности (С72)  может сочетаться с каждым вариантом выбора из    

                  второй (С93)  ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81)  по правилу  

                  умножения получаем:

                                                                                                 Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11.  Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и  Оля побежали на  

                         перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

                         способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

                         очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

                  оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

                  девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

                  правилу умножения у пяти  учащихся существует 5· 4⋅3⋅2⋅1=120 способов  

                  занять очередь.

Понятие факториала и перестановки.

Рассмотрим задачу, которая хорошо известна Вам как гуманитарному классу, хотя возможно Вы и не догадывались, что перед Вами именно задача (иллюстрируем презентацией).

“Проказница Мартышка, Осел,
Козел,
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть.
А вы, друзья, как ни садитесь,
Всё в музыканты не годитесь".

И.А. Крылов”.

Итак, данной группе пришлось решать не такой уж простой вопрос: “Как расположить 4 объекта по 4 местам?”. Баснописец Крылов предложил только 2 способа рассадки участников квартета. А сколько их было на самом деле?

У нас 4 объекта:

1) Проказница мартышка;
2) Осёл;
3) Козёл;
4) Косолапый мишка.

И мест тоже 4: первое, второе, третье, четвертое.

Записываем решение на слайде.

Допустим, мартышка, как дама, выбирает место первой. Сколько у неё возможностей? Ведь она может занять любое из 4 мест, следовательно – 4.

Мишка по старшинству будет выбирать вторым, но уже только из 3 мест, так как одно занято, следовательно, у него 3 возможности.

Допустим, следующим будет козел, как имеющий неоспоримое преимущество в виде рогов. У него всего 2 возможности выбора, так как незанятых мест всего 2.

И последнему, ослу, остается только занять единственное свободное место, то есть его выбор – 1.

Напоминаю правило умножения для конечного числа испытаний: “Число всех возможных исходов независимого проведения n испытаний равно произведению количества исходов этих испытаний”.

Значит, число возможных вариантов рассадки членов квартета составит:

4•3•2•1=24.

И если бы баснописец Крылов описал все возможные способы, то мы получили бы не басню, а поэму. А как называется полученное нами произведение идущих подряд n натуральных чисел? Факториалом!

Определение.

Произведение идущих подряд n натуральных чисел обозначают n! и называют “эн факториал”.

n!=1•2•3• … • (n – 1)• n.

Фактически мы с Вами решали задачу о количестве перестановок некоторого n – элементного множества (в нашем случае 4-х элементного множества).

Теорема.

Число всех перестановок n – элементного множества равно n!.

II. Рассмотрим ещё несколько задач. (Тексты перед Вами)

№1. У мамы и папы – один сын. К ним в гости пришла другая семья – мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если:

а) место хозяина в доме неприкосновенно;
б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;
в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом;
г) жены садятся рядом со своими мужьями?

Ответы:

№1 а) 120; б) 288; в) 432; г) 72.

Обратите внимание, какие числовые выражения, значения которых надо найти, получены в ответах. Что же может помочь нам в этом?

Используется презентация “Алгоритм вычисления факториала”

III. Самостоятельная работа.

Учащиеся работают на компьютерах, выполняя задания и заполняя индивидуальные бланки самостоятельной работы:

Самостоятельная работа

Домашнее задание.

№5. В зоопарке 5 львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров – по четырем другим клеткам и трех слонов – по трем вольерам.

а) Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.
б) То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку.
в) То же, что и в пункте а), но если у львов есть две семейные пары.
г) то же, что и в пункте а), но если между клетками для тигров и клетками для львов нет разницы.

Ответ: а) 5!•4!•3!=17280; б) 17280; в)( 5•4•3)•4!•3!=8640; г) 2177280.

IV. Подводим итоги урока.

1. Чему равно количество перестановок в множестве из n элементов?
2. Сколько алгоритмов вычисления факториала нами изучено?