Решение уравнений высших степеней.
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно  - корень уравнения

Очевидно  - корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к.  - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                ;

Вернемся к замене.

                 или                

                        корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  - корень уравнения.

         или        

                        т.к  - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

                или                                        или                

корней нет                                                        

Ответ: , ,

III) Уравнения вида, где  решаются как возвратные.

IV) Замена переменных по явным признакам.

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                или                

                                 корней нет

Ответ:

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                        или                        

корней нет                                                ;

Ответ: ;

Пример №3.

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                        

;                                         ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где  эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

VII) В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                (1)                        

                (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                        

Ответ: ;

VIII) В уравнениях вида  обе части уравнения делятся на

 - не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                        или                        

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                        или                        

                                        корней нет

Ответ:

X) Решение уравнений с помощью формулы

                        или                        

                                                корней нет

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                или                         корней нет

;

Вернемся к замене.

                или                

Ответ: ;

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.

                        или                        

;                                 - посторонний корень

корней нет                                        

Ответ: ;

XIII) Метод разложения на простейшие дроби.

Ответ: