Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.                                           

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

1. Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х2-9)2-8(х2-9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х2-9=t, тогда получаем:

t2-8t+7=0, D=b2-4ac=36, t1=7; t2=1.

Возвращаемся к “старой” переменной х2-9=1, х=±√10; х2-9=7, х=±4.

Ответ: х1=+√10; х2=-√10; х3=-4; х4=4.

Пример 2.  Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

 (х2 + 3х)(x2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t2 + 2t – 24 = 0, t1 = -6;  t2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x2 + 3x = -6, x2 + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x2 + 3x = 4 имеет корни х1 = -4, х2 = 1.

Ответ: х1 = -4, х2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х2

Решение. Разложим на множители х2 + 15 + 50.

х2 + 15 + 50 = 0, х1 = -5, х2 = -10, тогда х2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х2 + х – 20)( х2 + 8х – 20) = 18х2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х2 . Получим:

 =

)=18

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t2+9t-10=0, t1= -10, t2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

1. ;
2. 

Решим первое уравнение х2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х1=; х2=

Решим второе уравнение х2 - х – 20 = 0, D =81, х3 = - 4, х4 = 5.

Ответ: х1=; х2=;  х3 = - 4, х4 = 5.

Пример 4. Дано:

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х4+324=х4+182,

(х2+18)2=х4+36х2+324, тогда х4+324= х4+36х2+324-36х2. Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х2=t, получаем:

D=

х1,2 = = . Тогда:

х2-25=0,                    или            х2+6х+18=0

х=                                         D=36-72=-36, D<0 – решений нет, т.е. вся парабола                                                                   полностью лежит выше Ох  и не пересекает ее.

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Ответ: х=±5.    

Пример 5.   Дано: (х-1)4-х2+2х-73

Решение.  Преобразуем:

(х-1)4-(х2-2х+1)-72, (х-1)4-(х-1)2-72.

Введем новую переменную:  (х-1)2=t, t2-t-72=0, D=1+288=289

t1,2=.

Возвращаемся к «старой» переменной:

1. (х-1)2=9,                          2) (х-1)2=-8

х2-2х+1-9=0,                                       х2-2х+1+8=0 ,                              

х2-2х-8=0                                            х2-2х+9=0                                            

D=4+32=36                                        D=4 - 36= -32, D<0 – решений нет.

х1,2=

Ответ: х=4;-2.

Пример 6. Дано: (х2-2х-1)2+3х2-6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х2-2х-1)2+3(х2-2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х2-2х-1=t

T2+3T-10=0

D=49                   х1,2=

Возвращаемся к «старой» переменной:

1. х2-2х-1=-5,                          2) х2-2х-1=2

 х2-2х-1+5=0,                              х2-2х-1-2=0 ,                              

х2-2х+4=0                                    х2-2х-3=0                                            

D=4-16=-12, D<0 – решений нет.   D=16

                                                        х1,2=

Ответ: х=3;-1.

Пример 7. Дано:

 - не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1)2, получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                        

;                                         ;

Ответ: ; ; ;

Пример 8. Дано:

Решение. В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t2 + 18t – 40 = 0; t1 = -20, t2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Ответ: , .

Пример 9. Дано:

Решение. х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

 ,

вводим замену:

 , тогда

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х2 – 14х + 15 = 0

; .

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: ;.

Пример 10. Дано: 

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1)2=а; (х+1)2=b, получаем:

а2+9b2-10аb=0, поделим на а2, 1+9(2-10(), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t2-10t+1=0, D=100-36=64, t1,2=

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1)2=(х-1)2; 2) (х-1)2=9(х+1)2.

Решаем уравнения:

1. х2+2х+1=х2-2х+1,                     2) х2-2х+1=9х2+18х+9,

4х=0,                                              -8х2-20х-8=0

х=0.                                                  D=400-64∙4=144

                                                                     х1,2=

Ответ: х=0; -2; -

1. Метод группировки.

Пример 1. Дано:

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

,

Проводим преобразования и получаем:

+

2(х+2)(,

2(х+2)=0,              или           

х1=-2.                                   Введем замену: х2+4х=t, тогда

                                            Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х2+4х=,

х2+4х+1,5=0,

D=16-6=10,                                        

х2,3=                         Ответ: х1=-2; х2=-2+; х3= -2-.

Пример 2. Дано: х4+2х3+2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х2, получим:

х2+2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

(х2+ 

(х+2-2+2(

вводим новую переменную: t= х+, t2+2t-2=0, D=4+8=12,

t1,2==

Подставляем обратно:

1. х+

x2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2 <0 – решений нет.

1. х+=,

x2 + (1+ )x +1 = 0, D=,

х1,2=.

Ответ. х1,2=

Пример 3. Дано:  х4+х3-72х2+9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х2 и сгруппируем:

х2+х-72+=0,

(х2++(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х2+18++(х+,

(х+)2+( х+)-90=0, вводим новую переменную: t= х+, решаем уравнение:

t2+t-90=0, D=1+360=361,

t1,2= Решаем уравнения, подставляя значения t:

1. х+=-10,    х0

х2+10х+9=0, D=100-36=64

х1,2=

1. х+=9,   х0

х2-9х+9=0, D=81-36=45

х3,4=.

Ответ: х1 х2=-1; х3,4=

1. «Схема Горнера»

 Определение. Уравнение р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=0, где n – натуральное число, а - произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени.

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р0хn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn-1x+pn=(b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1)(x-a)

Пример 1. Дано: . Делители свободного числа: , но это  очень большое количество делителей, поэтому можно воспользоваться тем, что если сумма коэффициентов равна 0, то один из корней 1.

1-5-9+41+32-60=0 1 – корень.

х-1=0,    или    х-3=0,    или   х-5=0,    или   (х+2)2=0,

х=1.                 х=3.                 х=5.                 х=-2.    

Ответ: 1; 3; 5; -2.

Пример 2. . Делители свободного числа:

(х-1)3=0,   или     х+1=0,    или    х+3=0,         х-2=0,

х=1.                     х=-1.                  х=-3.            х=2.

Ответ: 1; -1; -3; 2.

Пример 3. Решить уравнение: х3 – 5х + 4 = 0

Определим корни многочлена третьей степени

:± 1; ± 2; ± 4

f(1) = 1 – 5 + 4 = 0

Одним из корней является  х = 1

х3 – 5х + 4 = 0

(х – 1) (х2 + х – 4) = 0

х-1=0,          или     х2 + х – 4=0

х=1.                       D = 1 + 16 = 17

                              х1 = ;   х2 = 

Ответ: 1; ; .

Пример 4. Дано: 6х4-29х3-89х2-19х+35=0

Решение. Делители свободного числа: .

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнения:

Итак, 6х4-29х3-89х2-19х+35=(х+1)(х-7)(6х2+7х-5)=0,

х+1=0   или х-7=0    или  6х2+7х-5=0          

х1=-1, х2=7, х3,4=.

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение: х5+5х-42=0

Решение. Делители свободного числа:

Находим по схеме Горнера целочисленные решения уравнений:

Ответ: х=2.

Пример 6. Дано: х4-8х+63=0

Решение. Делители свободного числа:

Решаем по схеме Горнера:

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решить уравнение: х4-4х3-13х2+28х+12=0

Решение. Делители свободного числа:

По схеме Горнера находим целочисленные решения уравнения:

Уравнение принимает вид: (х-2)(х+3)(х2 -5х-2)=0

х-2=0    или   х+3=0   или  х2 -5х-2=0

х1=2, х2=-3, х3,4=

Ответ:  х1=2, х2=-3, х3,4=

Список литературы:

1. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). А.Г. Мордкович. Изд. «Мнемозина», 2010.
2. Профильное обучение математике старшеклассников. Учебно-дидактический комплекс. – Новосибирск. Сиб. унив. изд-во, 2003.
3. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.
4. Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8–11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999.
5. Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10–11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990.
6. М. И. Шабунин. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10-11 классов.
7. Тумаркин Л.А. «История математики», Москва, 1975 г.
8. Иванов К. Б., Сборник задач для старшеклассников, Волгоград, 2000.