Решение уравнений с помощью неравенства Бернулли
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Рабочий листочек для учащихся

по теме: «Решение уравнений с помощью неравенств Бернулли»

1. Подготовительный этап.

Неравенство Бернулли.   Для любого х > -1 и любого натурального числа n выполняется неравенство  (1 + х)n ≥1 + nх.

Используя метод математической индукции, докажите, что при  х > -1, х= 0, и при целом п > 2 справедливо неравенство  (1 + х)п > 1 + хп.

 Задание 1 . Доказать, что при х > 0 выполняется неравенство  

Задание 2: Решить уравнение: 

2. Решение уравнений с помощью неравенства Бернулли.

1 вид уравнений, решаемые с помощью неравенства Бернулли.

,

Способ решения

Левую часть уравнения представить в виде суммы степеней вида (1+f(x)) и к каждому слагаемому применить неравенство Бернулли. Если после преобразования получим, что левая часть исходного уравнения совпадает с его правой частью, то, в силу только что приведенного замечания делаем вывод, что p=1 или f(x)=0.

Задание 3: Решите уравнение в целых числах:

Задание 4:Решите уравнение:

Задание 5: Решите уравнение: . ( самостоятельно)

Задание 6: Решите уравнение: .

Задание 7: Решить уравнение:  (самостоятельно)

2 вид уравнений, решаемые с помощью неравенства Бернулли.

Способ решения

Обе части уравнения сначала представим в виде сумм степеней вида.Затем к левой и правой частям применим неравенство Бернулли. Если после преобразования они совпадут, то определим при каких x  выполняется равенство.

Задание8:  Решите уравнение:  

Задание 9:  Решите уравнение:   (самостоятельно)

Задание 10: Придумать свое иррационально уравнение 1 или 2 вида и решить его с помощью неравенства Бернулли.