Геометрический метод решения сюжетных задач в 8 классе.
статья по алгебре (8 класс)

Геометрический метод решения сюжетных задач в 8 классе.

Сюжетные задачи – это наиболее традиционный вид математических задач. Они занимают одно из главных мест в обучении математике, так как их функции в обучении весьма значительны, и среди них одна из важнейших – методологическая. Суть этой функции заключается в том, что с помощью сюжетных задач обучаемый может познавать реальную действительность, осознавать те знания и умения, которые необходимы при решении любых задач, а не только сюжетных.

Решение задач является неотъемлемой частью процесса обучения математике. Уровень математической подготовки учащихся нельзя считать удовлетворительным, если они не могут применить полученные знания и умения к решению задач, в том числе сюжетных, поскольку такие задачи представляют собой в большей или меньшей степени модели реальных жизненных ситуаций и явлений. Сюжетные задачи позволяют познакомить учащихся с общей идеей математического исследования и сформировать них конкретные умения математического моделирования.

Сюжетные задачи в школе решаются с первого класса. Постепенно задачи усложняются как по содержанию, так и по способам их решения. На раннем этапе изучения математики при решении сюжетных задач арифметический метод  является основным методом.  Затем ведущую роль начинает играть алгебраический метод. Школьники овладевают умением решать сюжетные задачи с помощью линейных, квадратных уравнений, а также с помощью системы из двух уравнений с двумя переменными. Однако геометрический метод практически не используется в средней школе, тем не менее, при решении задач на равномерные процессы иногда он дает более простое и компактное решение.

Геометрический метод решения сюжетных задач является наглядным, формирует умения учащихся работать с графиком, устанавливает внутрипредметные связи между алгеброй и геометрией. Чаще всего этот метод используется при рассмотрении равномерных процессов: на равномерное движение, совместную работу, стоимость, переливание и др. Решение таких задач можно искать с помощью графиков линейных функций.

Рассмотрим суть метода на примерах задач на движение и на совместную работу. Решение этих задач можно выполнить с помощью графика линейной функции. Для этого по оси абсцисс обычно отмечается время движения (время выполнения работы), а по оси – ординат – пройденное расстояние (объем выполненной работы). Тогда абсцисса любой точки графика движения (работы) указывает момент времени, а ордината той же точки – в какой точке пути в этот момент находится объект (какой объем работы выполнен за этот промежуток времени).

При графическом методе решения сюжетных задач удобно пользоваться переменной системой координат, а именно иметь на одном и том же чертеже несколько (обычно 2) различных систем координат для построения заданных в условии задачи зависимостей, причем каждая зависимость изображается в своей системе координат.

Можно на одном чертеже построить графики движений (работы) двух и более объектов. Тогда, если графики пересекаются в некоторой точке, то абсцисса этой точки показывает время встречи (время выполнения работы при одновременной работе объектов), а ордината – место встречи (объем работы), при этом получаем приближенное значение искомой величины.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу:

На перепечатку рукописи одной машинистке потребовалось бы на 2 часа больше, чем другой. Если бы они объединили усилия, то смогли бы, работая одновременно, перепечатать эту рукопись за 2 ч 24 мин. Сколько времени потребовалось бы каждой машинистке на перепечатку этой рукописи?

Решение: Введем две системы координат и . Отрезок  – график работы одной машинистки. Отрезок  – график работы другой машинистки. Отрезок  изображает всю работу. пересекает  в точке . Отрезок  изображает время совместной работы машинисток. . Известно, что одной из машинисток потребуется на эту работу на 2 ч больше, чем другой. Обозначим отрезок  за  тогда . время работы первой машинистки,  – время работы второй машинистки.

Рассмотрим подобные треугольники:

Решим пропорцию и найдем :

не удовлетворяет условию .

Теперь можем найти, сколько времени потребовалось каждой машинистке:

 – потребовалось первой машинистке.

 – потребовалось второй машинистке.

Ответ: 4 ч, 6 ч.

Рассмотрим еще один метод решения сюжетных задач с помощью двумерной диаграммы.

Часто при решении задач рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Например, масса груза есть произведение количества ящиков на массу одного ящика, стоимость покупки равна произведению массы на цену, путь, пройденный при равномерном движении, равен произведению скорости на время движения. С другой стороны известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений. Поэтому в тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно интерпретировать это произведение в виде площади прямоугольника, т. е. в виде двумерной диаграммы.

В качестве примера рассмотрим задачу:

Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне 720 км увеличил скорость, с которой должен идти по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?

Решение: Пусть на рисунке  изображение пути в 720 км,  – изображение скорости по расписанию, время по расписанию. Поскольку поезд увеличил скорость на 10 км/ч, то прибавим к отрезку  отрезок , изображающий эту величину, тогда скорость поезда.

Увеличив скорость, поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка  отрезок , изображающий 1 час. Тогда площадь изображение пути, пройденного поездом.

т. к.  

Ответ: 80 км/ч.

В заключении хочу сказать, что в школьном курсе математики мало разнообразия в методах решения сюжетных задач. Поэтому знакомство с геометрическим методом решения очень актуально. Организовать деятельность учащихся по формированию умения решать сюжетные задачи геометрическим способом можно как на уроке, так и более подробно на факультативных занятиях.