Зачет по теме производная
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Зачет по теме   «Производная, правила вычисления производных, исследование функции при помощи производной».

1 вариант

1. Запишите  определение производной функции в точке.
2. Запишите геометрический смысл производной. Дана функция  f(x) =  Найдите угловой коэффициент касательной в точке  – 1  
3. Запишите правило производная частного. Дана функция  Найдите  Решите неравенство
4. Запишите уравнение касательной. Составьте уравнение касательной функции f(x) = x³ - 2x² +x +10 в точке  – 2.
5. Запишите условие возрастания функции, условие минимума функции. Дана функция . Исследовать на монотонность и экстремумы.
6. Найти наибольшее значение функции y=x3+6x2+19 на отрезке [ - 6; -3 ]

2 вариант

1. Запишите  определение производной функции в точке.
2. Запишите физический смысл производной. Дана функция s(x) = x³ - 2x² +x +10, которая выражает закон движения тела. Найдите скорость в момент времени х=2
3. Запишите правило производная произведения. Дана функция f(x) = Найдите  
4. Запишите уравнение касательной. Составьте уравнение касательной функции  в точке  2.

5. Запишите условие убывания функции, условие максимума функции. Дана функция:

Исследовать на монотонность и экстремумы.

6. Найти наименьшее значение функции y=x3 – 12x2+15 на отрезке [ - 2; 3 ]

Ответы

Вариант 1.

1. Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b),  и  - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается 

2. Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

f(x) =  ,  

3.  

  , .

4.   Пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:   y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение функции в точке x0.

f (x) = x³ - 2x² +x +10 в точке  – 2, , ,

y=21(x + 2) + (-8), y = 21x + 34 касательная

5. Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума.

    . ,

  х=2 – точка минимума, в точке х=0 максимума нет, так как 0 не входит в область определения,  функция возрастает   функция убывает (0;2].

6. y=x3+6x2+19 на отрезке [ - 6; -3 ], у’=3x2+12x, y’=0 x=0, x=-4, yнаиб=у(-4)=51.

2 вариант

1. Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b),  и  - точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается 

2. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость материальной точки в определенный момент времени t0t0 равна производной закона движения s(t0) этой точки в момент времени t0:v(t0)=s′(t0)

s(x) = x³ - 2x² +x +10, v=s’(2)=3(2)2 – 4.2 + 1=5

3. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя:

(uv)′=u′v+uv′ , f(x) = , 2

4. Пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:   y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

 в точке  2, f’(x)=x2 – 3x – 4, f(2)=, f’(2)= - 6.

 y=6x+2/3 касательная

5. если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума;

 ,

X=1, x=5 производная =0, X=1, x=5 точки экстремума, функции возрастает на интервале  и убывает на интервалах . В точке  функция достигает минимума: , а в точке  – максимума: .

6. y=x3 – 12x2+15 найти унаим  на отрезке [ - 2; 3 ]

У’=3  y’=3x2 – 24x  y’=0 x=0, x=-4, yнаиб=у(-4)=51.