Обобщающий урок в 10 классе (профильный уровень) по теме «Приемы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

                      Обобщающий урок в 10 классе (профильный уровень)

по теме «Приемы решения тригонометрических уравнений»

Сибгатуллина Назия Галимулловна,

учитель математики МБОУ «Дубъязская СОШ»

Цели урока: 1) систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;

2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений, в том числе нестандартными способами;
3. формировать познавательную мотивацию и эмоциональную включенность учащихся в учебный процесс;
4. подготовить учащихся к итоговой аттестации по теме: «Приемы решения тригонометрических уравнений».

Оборудование урока: Мультимедийный проектор, карточки, рабочие листы с элементами самооценки, наборы заданий.

Ход урока

1. Организационный момент.

– На уроке поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод упрощает решение, познакомимся с нестандартными приемами решений уравнений.

2. Устная работа.

Среди уравнений (указанных на экране) выберите те, которые решаются:

1. приведением к квадратному;
2. как однородное уравнение I степени;
3. как однородное уравнение II степени;
4. с помощью формул суммы и разности;
5. понижением порядка;
6. разложением на множители;
7. методом вспомогательного угла;
8. с помощью равенства одноименных функций.

        Обсуждение проводится устно в быстром темпе, проговариваются некоторые ходы преобразований.

3. Самостоятельная работа №1 (на 2 варианта)

        Цель – закрепить умения решать тригонометрические уравнения, дать возможность осознать учащимся собственные умения.

        Методы: приведение к квадратному, разложение на множители, однородное уравнение, вспомогательный угол.

        Учащиеся работают на листах. Проверяется выполнение работы (см. на экран) и выставляются баллы за выполнение: по одному баллу за каждое правильно решенное уравнение.

4. Систематизация приемов решения тригонометрических уравнений (у доски работают 6 учеников, показывая приемы решения уравнений (6 вариантов)). Задания на рабочих листах.

1-ый ученик (I вариант). (графическим способом)

; . В одной системе координат построим графики функций  и .

                                                                              2

                                 y=1+cos x

                                     ◘                                        1              ◘                                                       ◘

                   y=sin x

                                                   ◘                                                        ◘

                                         0                                               

                                                                              -1

,  

Ответ: ,  

2-ый ученик (II вариант). (универсальная подстановка)

Введение выражений для   и  через  предполагает, что , т.е. .  т.к. >0   =2;   =1;  

        При универсальной подстановке может произойти потеря решений, т.к. D(sinx), D(cosx), D(tgx) разные, поэтому проверим, является ли  решением уравнения (верно). Следовательно, , решение уравнения.

Ответ: .

3-ий ученик (III вариант). 

(Это однородное уравнение II степени). Так как среди решений уравнения нет таких x, при которых , то разделим обе части уравнения на  , получим уравнение

Ответ:

4-ый ученик (IV вариант). 

 заменим  где  возведем (1) в квадрат, имеем:  тогда       (удовлетворяет условию ), тогда  

Ответ: ,

5-ый ученик (V вариант). 

Это уравнение со сложным аргументом: . т.к.  то . Тогда n = -2; -1; 0; 1; 2, тогда

,  , ,  ,

(Объединяя, получаем )  (Объединяя, получаем ).

Ответ: .

6-ой ученик (VI вариант). 

Из свойств  и следует, что  следовательно, произведение  тогда и только тогда, когда:  

Решим систему (1): . (умножим на ), получаем:  где , то дробь целое число, если отсюда, подставив в первое уравнение системы (1): т.е.  где - решение системы (1).

Решим систему (2):  ,

; ; . Данное уравнение не имеет решений в целых числах, т.к.  но 52.

Ответ:

Выводы: Итак, при решении тригонометрических уравнений применяется графический метод, решение однородных уравнений II степени, способ «универсальная подстановка», если уравнение содержит , то применяется замена  , особое внимание необходимо обратить на решение уравнений со сложными аргументами, использование ограниченности функций  и .

5. Самостоятельная работа №2 (3 уровня сложности на 2 варианта)

(Задания даются на экране)

Решите любые 3 уравнения из предложенных:

6. Работы – рабочие листы учащихся собираются, проверяются учителем, учитывается самооценка учащихся. Если вы набрали:  9-10 баллов –  оценка «5»

7-8 баллов   –  оценка «4»

5-6 баллов   –  оценка «3»

7. Работа учащихся в рабочих тетрадях.

Цель работы – ознакомить учащихся с нестандартными приемами решения тригонометрических уравнений.

1. Монотонность (через экран). Вспомним важные свойства монотонных функций, которые наиболее часто используются при решении уравнений:

10. Если функция  строго возрастает (или строго убывает) на промежутке I, то для любого действительного числа Р уравнение = Р имеет на промежутке I не более одного корня.

20. Если функция  строго возрастает на промежутке I, а функция  строго убывает на том же промежутке, то =  имеет на промежутке I не более одного корня.

30. Если функция  строго возрастает (или убывает) на промежутке I и числа а и b принадлежат промежутку I, то равенство  равносильно равенству а=b.

40. Если две функции  и  возрастают (или убывают) на промежутке I, то их сумма  + возрастает (или убывает) на промежутке I.

50. Если две функции  и , принимающие положительные значения, возрастают (или убывают) на промежутке I, то их произведение   возрастает (или убывает) на промежутке I.

Найти все значения , для которых справедливо равенство    (1) (см. на экран)

Функция  строго возрастает на промежутке, как сумма возрастающих функций; функция  - строго убывает на промежутке, следовательно (1) выполняется только при одном значении  либо является ложным при всех , нетрудно догадаться (подбором), что , проверим:

Ответ:

2. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию (разбирается на доске). Решить уравнение: .

В уравнении  раскроем скобки и преобразуем произведение  в сумму, имеем:    (1)

Умножим обе части уравнения (1) на , т.к. решения уравнения не являются решениями (1): .

Преобразуем произведения, стоящие в левой части уравнения:

тогда  

Теперь исключим из найденных серий корней корни вида .

а)  ясно, что n – четное число, т.е.  поэтому

б)  т.к.  то  но тогда

Ответ: ,   ,  

8. Итог урока.

                Подчеркивается значимость методов решения тригонометрических уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать конкретные задачи. Оценка, полученная учащимися за данный урок, покажет насколько они готовы к итоговой  работе. Даются указания к домашнему заданию: решить уравнение (раздаются карточки).

1. 
2. 
3. 
4. Найдите значения выражения где- наибольший отрицательный корень уравнения
5. (указание: обе части уравнения умножить на );
6.  (указание: рассмотрите функцию , если );
7. Проблема: Можно ли решить уравнение, используя скалярное произведение векторов