Сложение и умножение числовых неравенств
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект урока по алгебре для учащихся 8 «Б» класса

Тема урока: «Сложение и умножение числовых неравенств».

Цели урока:

образовательная: изучение теорем, выражающие сложение и умножение числовых неравенств; формирование умения применять теоремы при решении задач;

развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуру математической речи.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, учебник.

Литература:

1. Алгебра : учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М. : Просвещение, 2007. – 271 с.
2. Алгебра. Поурочное планирование по учебнику Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова, С. Б. Суворова. – Издательство «Учитель». – 2010 – 395 с.
3. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб. пособие для студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика») / Г. И. Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий,  2012. – 292 с.

План урока:

1.        Организационный момент (2 минуты)

2.        Актуализация опорных знаний и умений (7 минут)

3.        Изучение нового материала (15 минут)

4.  Формирование умений и навыков (15 минут)

5.        Подведение итогов (4 минуты)

6.         Домашнее задание (2 минуты)

Ход урока:

1. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! Дежурный, кто отсутствует на уроке?

Учитель: Запишите число, классная работа и тему урока. Сегодня на уроке мы начнем новую тему «Сложение и умножение числовых неравенств». Вы узнаете, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.

Запись на доске и в тетрадях:

12.03.2014г.

Классная работа.

Сложение и умножение числовых неравенств.

2. Актуализация опорных знаний

Учитель: Вспомним определение  числового неравенства.

Ученик: Число  больше числа , если разность  - положительное число ; число  меньше числа , если разность  - отрицательное число.

Учитель: Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства числовых неравенств. Для каждого свойства приведите примеры.

Ученик: Теорема 1. Если , то ; если , то .

Пример: Если ; если .

Ученик: Теорема 2. Если  и , то .

Пример: Если  и 6, то 2.

Ученик: Теорема 3. Если  и  - любое число, то .

Пример: Если  и , то ,  .

Ученик: Теорема 4. Если  и – положительное число, то . Если  и – отрицательное число, то .

Если обе части верного неравенства умножить или разделить а одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Пример:  и , то ,  .

Пример:  и , то ,  .

Ученик: Следствие. Если  и  - положительные числа и , то .

Пример: ,  и , то  .

3. Изучение нового материала.

Учитель: Теперь перейдем к новой теме. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Записываем, теорема 5. Если  и , то .

Пример,  и 3, ,.

Запись в тетрадях: Теорема 5. Если  и , то .

Пример,  и 3, ,.

Учитель: Докажем теорему. Что нам дано?

Ученик: Нам даны два числовых неравенства  и .

Учитель: А что нам нужно доказать?

Ученик: Что .

Учитель: Как думаете, на что мы будем опираться при доказательстве данной теоремы?

Ученик: На свойства числовых неравенств.

Учитель: Док-во. Давайте прибавим к обеим частям неравенства  число . Что мы получим?

Ученик: Для этого мы воспользуемся теоремой 3, которая выражает одно из свойств числовых неравенств. У нас получится .

Учитель: Теперь давайте прибавим к обеим частям неравенства   число

Ученик: Мы так же воспользуемся теоремой 3, и у нас получится .

Учитель: И какой мы вывод можем сделать?

Ученик: Если  и , то .

Учитель: Что нам и требовалось доказать. Теорема доказана.

Учитель: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство. Записываем, теорема 6. Если  и , где  - положительные числа, то .

Пример,  и 3, ,.

Запись в тетрадях: Теорема 6. Если  и , где  - положительные числа, то . Пример,  и 3, ,.

Учитель: Докажем теорему. Что нам дано?

Ученик: Нам даны два числовых неравенства  и , где  - положительные числа.

Учитель: А что нам нужно доказать?

Ученик: Что .

Учитель: Док-во. Давайте умножим обе части неравенства  на положительное число . Что мы получим?

Ученик: Для этого мы воспользуемся теоремой 4, которая выражает одно из свойств числовых неравенств. У нас получится .

Учитель: Теперь давайте умножим обе части неравенства   на положительное число .

Ученик: Мы так же воспользуемся теоремой 4, и у нас получится .

Учитель: И какой мы вывод можем сделать?

Ученик: Если  и , то .

Учитель: Что нам и требовалось доказать. Теорема доказана.

Учитель: Теперь запишем следующее. Следствие. Если числа  и  положительны и , то , где  - натуральное число.

Пример, , ;  ,.

Запись в тетрадях: Следствие. Если числа  и  положительны и , то , где  - натуральное число.

Пример, , ;  ,.

Учитель: Доказанные свойства используются для оценки суммы, разности, произведения и частного. Разберем пример из учебника на странице 162.

Пусть, например, известно, что  и . Требуется оценить сумму , разность , произведение  и частное .

1. Оценим сумму .

Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравенствам  и , а затем к неравенствам  и , получим  и . Результат можно записать в виде двойного неравенства . Запись обычно ведут короче:

2. Оценим разность .

Для этого представим разность  в виде суммы . Сначала оценим выражение . Так как , то , т. е. . Применим теперь теорему о почленном сложении неравенств:

3. Оценим произведение .

Так как каждое из чисел  и  заключено между положительными числами, то они так же являются положительными числами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, получим

4. Оценим частное .

Для этого представим частное  в виде произведения . Сначала оценим выражение . Так как , то , т. е. . По теореме о почленном умножении неравенств имеем

4. Формирование умений и навыков.

Учитель: Теперь решаем номер 765.

Ученик: № 765.

а)  и , то по теореме 5 получаем ,

б)  и , то по теореме 5 получаем ,

Запись на доске и в тетрадях:

 № 765.

а)  и , то по теореме 5 получаем ,

б)  и , то по теореме 5 получаем ,

Учитель: Теперь выполняем номер 766.

Ученик:  № 766.

а)  и , то по теореме 6 получаем ,

б)  и , то по теореме 6 получаем ,

Запись на доске и в тетрадях:

№ 766.

а)  и , то по теореме 6 получаем ,

б)  и , то по теореме 6 получаем ,

Учитель: Решаем № 768.

Ученик:  № 768.

 и .

а) ; .

б) Сначала оценим выражение

; .

; .

в)  .

г) Сначала оценим выражение

, т.е.

,

Запись на доске и в тетрадях:

№ 768.

 и .

а) ; .

б) Сначала оценим выражение

; .

; .

в)  .

г) Сначала оценим выражение

, т.е.

,

Учитель: Теперь № 770.

Ученик: № 770.

  и         

а) ; .

б) ; ;

 ; ; .

Запись на доске и в тетрадях:

№ 770.

  и         

а) ; .

б) ; ;

 ; ; .

Учитель: № 772.

Ученик: № 772. Периметр равнобедренного треугольника равен . Нам даны два двойных неравенства  и . Но нам не известно , найдем его  . Теперь мы можем оценить и сам периметр

; ,

Запись на доске и в тетрадях:

№ 772.

;  и

1.  .
2. ; ,

Учитель: № 774.

Ученик: № 774.

 - так как комната прямоугольной формы;

  и

; , значит, помещение подойдет для библиотеки.

Запись на доске и в тетрадях:  

№ 774.

 - так как комната прямоугольной формы;

  и

; , значит, помещение подойдет для библиотеки.

5. Подведение итогов

Учитель: Подведем итоги. Мы сегодня с вами изучили теоремы сложения и умножения числовых неравенств. Сформулируйте теорему 5.

Ученик: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если  и , то .

Учитель: Теперь сформулируйте теорему 6.

Ученик: Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство. Если  и , где  - положительные числа, то .

Учитель: Сформулируйте следствие из теоремы 6.

Ученик: Если числа  и  положительны и , то , где  - натуральное число.

Учитель: Спасибо за урок, Урок окончен, можете идти.

Учитель выставляет отметки учащимся, кто отвечал на уроке и работал у доски.

6. Домашнее задание

Запись на доске и в дневниках:  № 769, № 771, № 773

№ 769.

 и .

а) ; .

б) Сначала оценим выражение

; .

; .

в) .

г) Сначала оценим выражение

, т.е.

,

№ 771.

  и         

а) 2; .

б) ; ;

 ; ; .

№ 773.

 и

а)  - периметр прямоугольника

; ,

;

б)  - площадь прямоугольника

; ; .