Формирование у школьников эстетического отношения к математике (в ходе решения задач)
статья по математике

Бережная О. А., учитель математики

ГБОУ СОШ №296 Фрунзенского района

Санкт-Петербурга

ФОРМИРОВАНИЕ У ШКОЛЬНИКОВ

ЭСТЕТИЧЕСКОГО ОТНОШЕНИЯ К МАТЕМАТИКЕ

(В ХОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ)

Нужна ли эстетика на уроке математики? Можно ли найти эстетику в математике? А математику в эстетике? Как связаны между собой эти две науки? Есть ли у них какая-то точка соприкосновения? А может, их пути тесно переплетаются?

Речь в этой статье пойдет об эстетике и математике, а точнее: об эстетике урока математики.

Зачем на уроке математики должны присутствовать (и должны ли?) элементы эстетики – науки вроде бы из совсем другой области знания?

Прежде чем отвечать на этот вопрос, я постараюсь объяснить, что для меня значит: эстетика урока математики.

Будем считать, что определение математики нам известно. Что такое эстетика? Эстетика часто понимается как наука о прекрасном, наука о красоте.

Делаем вывод: эстетическим элементом на уроке является любой факт (любая задача, любой рассказ), который мог бы дать человеку почувствовать красоту этого факта, а через него и красоту самого предмета. Это те факты, которые бы давали человеку возможность полюбоваться увиденным, которые бы радовали глаз и разум.

Зачем нужна эстетика на уроке математики?

• Использование эстетического элемента позволяет сделать процесс обучения ненавязчивым. Так создан человек: что красиво, то приковывает внимание, оставляет след не только в голове, но и в душе. Тем больший след это оставит в памяти человека.
• Таким образом в какой-то степени решается проблема познавательного интереса.
• Введение эстетических элементов на уроке математики позволяет учитывать индивидуальные особенности учащихся.
• Привлечение фактов из различных областей техники, науки, культуры способствует воспитанию отношения к математике как к части общечеловеческой культуры; понимание значимости математики для научно-технического прогресса.
• Решается проблема реализации межпредметных связей математики с другими науками.
• Главная функция эстетического воспитания заключается в стимулировании творческой деятельности человека (ведь основная его задача – сделать себя и все вокруг прекрасным). Поэтому можно вводить эстетику на урок математики с целью развития творческих способностей учащихся.
• Внесение эстетического начала на уроки математики может рассматриваться как часть эстетического воспитания школьников. А это уже связано с гармоничным воспитанием человека (вспомним, что красота издавна понималась как гармония).

Все вышесказанное можно выразить в трех словах: обращенность к человеку.

Каким образом можно «вносить» эстетический материал на урок математики?

• Использование на уроках красивых математических задач
• Использование на уроках математики красивых математических фактов
• Привлечение на уроки математики общенаучных, общекультурных, общеисторических сведений
• Нестандартные способы подачи материала

и т.д.

Остановимся в этой статье не на внешней красоте математики, а попытаемся увидеть внутреннюю сторону эстетики математики.

Покажем внутреннюю красоту математики через решение задач. Почему мы останавливаемся именно на задачах? Обучение в основном идет через решение задач. И от их выбора зависит эстетическое воспитание учащихся. Часто мы пытаемся заставить детей просто решать задачи, а не увлечь их решением задач.

Так как мне сложно дать определение красивой задачи, то я попробую провести их классификацию.

Итак, я задачу считаю красивой, если выполняется одно из следующих условий:

1. Неожиданная простота решений, доказательств.

«Коротко и ясно, оттого и прекрасно»

Русская пословица.

Задача.

В классе 36 учащихся. Из них 10 являются отличниками, 15 – спортсменами, 14 – певцами (участниками хора), причем 4 являются отличниками и спортсменами, 5 – спортсменами и певцами, 2 – отличниками и певцами, а 1 – отличником, спортсменом и певцом. Сколько учащихся класса не являются ни отличниками, ни спортсменами, ни певцами?

Решение этой задачи с помощью кругов Эйлера будет понятно и интересно даже не интересующимся математикой ученикам.

2. Изящно решаемые задачи.

«У людей, усвоивших великие принципы математики,

одним органом чувств больше, чем у простых смертных»

Ч. Дарвин

Я не говорю о том, что задачи первого типа решаются не изящно. В чем отличие этих задач от задач первого типа? У задач первого типа есть определенный алгоритм, которым надо воспользоваться, у задач второго типа такого алгоритма нет; здесь надо не поддаться на видное некрасивое решение задачи, а суметь найти более лаконичное.

Задача.

Найти объем тетраэдра, при вершине которого – прямой трехгранный угол, а боковые ребра равны а, в и с.

Зная идею решения задачи (перевернуть тетраэдр на боковую грань), задача покажется красивой любому человеку. То есть это пример объективно красивой задачи.

Задача.

Решить уравнение: │х + 1│ + │х - 3│ = 6

Обычно это уравнение решают, рассматривая три случая. Но если прочесть условие «словами», не произнося слово «модуль»: сумма расстояний от точки х до точек -1 и 3 равна 6, то ясно, что на среднем промежутке (-1;3) корней нет. Кроме того, ясно, что уравнение имеет два корня, симметричных относительно середины отрезка [-1;3]. Поэтому достаточно решить уравнение на одном промежутке, например, х>3, и найти симметричную ей точку относительно точки х=1.

3. Задачи «с изюминкой».

«Наука – дело творческое, как искусство, как музыка»

П. Л. Капица

Этот тип задач предполагает творческую деятельность ребенка, здесь заложена «изюминка». Это не значит, что в задачах второго типа нет изюминки. Задачи второго типа меньшей сложности. А здесь уже необходимы творчество, смекалка ребенка.

Задача.

Найти наименьшее из всех тех чисел, которые при делении

на 2 дают в остатке 1

на 3 дают в остатке 2

на 4 дают в остатке 3

на 5 дают в остатке 4

на 6 дают в остатке 5

на 7 дают в остатке 6

на 8 дают в остатке 7

на 9 дают в остатке 8.

Изюминка – в том, чтобы искать число, на единицу большее искомого.

Задача.

На вечеринке было 20 танцующих. Мария танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью, Вера – с девятью и так далее до Нины, которая танцевала со всеми танцорами. Сколько танцоров (мужчин) было на вечеринке?

Изюминка: обозначить за х число не танцоров, а танцовщиц. Тогда получим уравнение: х + (6 + х) = 20

4. Перенос ситуации.

«Пока алгебра и геометрия развивались врозь,

 их процесс был медленным, применение – ограниченным;

 когда же эти две науки были соединены,

 они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству»

Ж. Л. Лагранж

Задача.

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. (Очень легко задача доказывается с помощью векторов).

В стереометрии наиболее красивым мне кажется доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов.

5. Задачи, делающие упор на логическую сторону математики.

«Строгость математическая, которая состоит в том,

чтобы ничего, кроме известного и ясно доказанного

за основание не принимать, нечувствительно приучает рассуждать

о вещах твердо и основательно»

С. Я. Румовский

К этому типу задач относятся разнообразные софизмы или задания типа «найди ошибку».

Найти ошибку в доказательстве.

0.25 > 0.125

0.52 > 0.53

lg (0.52) > lg (0.53)

2 lg (0.5) > 3 lg (0.5)

2 > 3

Найти ошибку в решении неравенства.

х5/6: х-1/6 – 1 < 0

х5/6 - (-1/6) – 1 < 0

х1 – 1 < 0

х < 1

6. Красота вычислений (устный счет).

«Математика есть искусство избегать вычислений»

Задача.

Докажите, что для перемножения двух двузначных чисел, у которых цифры единиц в сумме дают 10, а цифры десятков одинаковы, можно цифру десятков умножить на следующее за ней число и, увеличив произведение в 100 раз, прибавить к нему произведение цифр исходных чисел.

63 ∙ 67 = 4221                42 = 6 ∙(6+1), 21 = 3 ∙ 7

Придумайте аналогичное правило для двух двузначных чисел, у которых цифры единиц совпадают, а цифры десятков в сумме дают 10.

87 ∙27 = 2349                23 = 8 ∙ 2 + 7, 49 = 7 ∙ 7

7. Сведение сложности к простоте.

«Мне кажется, что поэт должен только видеть то,

чего не видят другие, видеть глубже других.

И это же должен и математик»

С. В. Ковалевская

Задача.

В пространстве даны 3 попарно перпендикулярные прямые, расстояния между которыми равно 1. Найдите площадь параллелограмма, две вершины которого расположены на одной прямой, а две оставшиеся – на двух других прямых.

Идея заключается в том, чтобы «привязать заданную конфигурацию к хорошему многограннику». Задача значительно упрощается, если вместо отдельных трех скрещивающихся прямых рассматривать куб.

8. Старинные задачи.

«Математика – творение человечества,

с которым не может быть сравниваемо по древности никакое другое»

Задача (учебник Ефима Войтяховского, 1795г.).

Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Несложная задача на геометрическую прогрессию, но взятая из учебника XVIII века, я думаю, пробудит к ее решению несколько иное отношение.

9. Прикладные задачи (связь математики с природой, искусством, техникой).

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея

находит применение в том или ином деле»

А. Н. Крылов

Задача.

Арка моста имеет форму дуги параболы. Высота арки 24м, а длина стягивающей ее хорды 24м. Арка имеет 5 вертикальных стоек, укрепленных в точках хорды, делящих эту хорду на равные части. Вычислите длины этих стоек.

Если задачу перевести на язык математики, удобно ввести систему координат, то получится элементарная задача на квадратичную функцию.

Я подробно остановилась на красивых задачах, так как это наиболее важный элемент эстетического приобщения к математике. Как правило, на уроках математики основное внимание уделяется логическому, рациональному мышлению детей, значительно меньше уделяется внимания развитию их чувств. Но нельзя на уроках математики развивать логику, а на уроках литературы – эмоции. Поэтому я считаю, что, даже решая задачу, нужно видеть ее внутреннюю красоту. И мне бы хотелось, чтобы дети не просто чувствовали эту красоту, но и сами имели бы потребность в отыскании красивых, рациональных, изящных способов решения задачи.

Можно сказать, что эта тема очень субъективна. Ведь если для одного человека данная задача красива, то для другого та же самая задача будет некрасива. Да, конечно, у каждого свой вкус. Кому-то нравится решать задачи с помощью векторов, кто-то не любит этот способ. Но можно подобрать такие задачи, что даже не любящий векторный метод человек согласится с рациональностью его применения, согласится с тем, что именно векторный способ решения задачи красив. И я думаю, что есть такие задачи, способ решения которых покажется изящным всякому. Именно такие задачи я пыталась подобрать в этой работе. На таких задачах я хочу научить школьника отличать красивые способы решения от некрасивых. После того, как он это почувствует, пусть он решает задачи, исходя из собственного, субъективного понятия красоты, исходя из своих симпатий.

Очень хорошо проблема эстетического воспитания описана в книге И. Ф. Гончарова «Эстетическое воспитание школьников средствами искусства и действительности». Автор в этой книге говорит не только об эстетическом воспитании посредством математики, но и посредством науки в целом, а также искусства, природы, труда…. Всем им в книге уделяется равное внимание. Автор пытается раскрыть и внешнюю и внутреннюю сторону эстетики науки, обращает внимание учащихся на психологию эстетики познавательной деятельности. Он пишет: «Если при изучении наук пропущены важные звенья – поиск красивых решений задач, их сопоставление с ординарными, специальные беседы, - то изучение науки не служит целям эстетического воспитания… Учение вызывает к себе эстетическое отношение тогда, когда требует от школьников глубоких размышлений, напряженной, интенсивной мыслительной работы. У школьников необходимо выработать умение задавать вопросы, находить способы решений, отличные от известных, высказывать свое мнение по существу разбираемых вопросов». Речь у него идет не о художественных, иллюстративных вставках в уроки. А о подлинно эстетических сущностях данного предмета – о гармонии мысли данной науки, о гармонии в эксперименте, в решении задач.

И закончить мне хотелось бы фразой из книги Б. М. Неменского «Мудрость красоты»: «Дело не в том, чтобы научить детей видеть, чувствовать и понимать прекрасное в искусстве, задача – необходимо сформировать у детей умение творить прекрасное в своей повседневной деятельности, в повседневных человеческих отношениях, в повседневном труде. А для этого вся жизнь учащегося – классная и внеклассная – должна быть организована «по законам красоты»».

Литература:

• Эстетическое воспитание школьников / под ред. А. И. Бурова, Б. Т. Лихачева - М., Педагогика, 1974
• Гончаров И. Ф. Эстетическое воспитание школьников средствами искусства и действительности - М., «Педагогика», 1986
• Зенкевич И. Г. Эстетика урока математики - М., Просвещение, 1981
• Неменский Б. М. Мудрость красоты - М., Просвещение, 1981
• Волошинов А. В. Математика и искусство - М., Просвещение, 1992
• Столяр А. А. Педагогика математики - Минск, 1986
• Перельман Л. И. Занимательная алгебра - М., Наука, 1970
• Лейкина Т. Н. Научиться придумывать! - С-Петербург, 1994
• Бергман Г. И. Приемы счета - Москва – Ленинград, 1950
• Квант, 1991г., №5