Проектное задание на тему"Использование ИКТ при обучении учащихся исследованию функции с помощью производной»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

ГОУ ДПО «Ленинградский областной институт развития образования»

Кафедра математики, информатики и ИКТ

ПРОЕКТНОЕ ЗАДАНИЕ

«Использование ИКТ при обучении учащихся исследованию функции с помощью производной»

КПК: «ФГОС ОО: ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ»

Выполнила: Палто Антонина Васильевна

УЧИТЕЛЬ  МАТЕМАТИКИ

ВСОШ №1

Руководитель:

ГОЛУБЕВА СВЕТЛАНА АЛЕКСАНДРОВНА

СТАРШИЙ ПРЕПОДОВАТЕЛЬ, МЕТОДИСТ

Санкт-Петербург 2018

Содержание

Введение

ГЛАВА 1. Теоретические основы по теме  «Производная и ее применение»

ГЛАВА 2. Практическая часть

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Введение

Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Тема «Производная» представлена в заданиях №7 и №12 профильного уровня единого государственного экзамена. Некоторые задания 2 части также можно решить с применением производной. Но для решения этих задач требуется хорошая математическая подготовка и нестандартное мышление.

Анализируя  результаты итоговой аттестации последних лет, можно сделать вывод о том, что с заданиями математического анализа в  работах ЕГЭ справляются далеко не все выпускники. В части 1 из двенадцати заданий тему производная представляют два задания, нетрудно подсчитать процентное содержание и зависимость общего балла выпускника от успешного выполнения этих задач. А так как большая доля информации усваивается с помощью зрительной памяти, и воздействие на неё очень важно в обучении, то выбор информационно-коммуникационных технологий, преимуществом которых является наглядность, как никогда будет кстати. Использование яркой и красивой презентации при объяснении нового материала, способствуют лучшему усвоению материала, и возникновению желания разобраться и хорошо усвоить данный материал. Кроме того, можно предложить учащимся самим составить презентацию, к уроку-закреплению.   Этим и обусловлен выбор темы.

Тема моего проекта «Использование ИКТ при обучении учащихся исследованию функций по графику производной» актуальна в настоящее время.

 Цель проекта: создать наглядный материал по исследованию функций с использованием ИКТ   

      Задачи  проекта:

1.Выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной

2. Выяснить, как исследовать функцию по графику ее производной

3. Составить алгоритм действий в каждом конкретном случае

4. Создать наглядный материал, который  поможет хорошо усвоить тему

      Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи:

Изучить научную литературу по теме

Выявить дидактические средства, способствующих формированию положительных мотивов к изучению темы

Проверить эффективность предложенных средств на практике

Провести анализ, систематизацию и обобщение результатов, полученных в ходе реализации проекта

      Предполагаемый результат:

устойчивая внутренняя мотивация к изучению математики

сознательные предметные знания и умения, усвоенные системно, на длительный срок;

способность к различным формам мышления, способность к активной умственной деятельности в течение длительного времени;

         Практическая значимость проекта обусловлена тем, что его результаты могут быть использованы в практической деятельности учителей.

ГЛАВА 1. Теоретические основы  по теме «Геометрический смысл производной»

1. Производная

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. 
Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования:

• Если функция константа, т.е. y = C, где C - число, то (С)′=0
• Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (v+u)′=v′+u′
• Если функция Cu , где C - постоянная, дифференцируема в точке x, то (Сu)′=Сu′
• Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′
• Если функции u и v дифференцируемы в точке x и v(x)≠0, то

Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим функцию y=sinx2. 
Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно:

1) вычислить x2;

2) найти значение синуса от полученного значения x2. 

Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = x2, а потом найти sin g(x). 
В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f(g(x)). 
В нашем примере u = g(x) = x2, а y = f(u) = sin u.

Пусть y = f(g(x)) - сложная функция, причем функция u = g(x) дифференцируема в точке x , а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u.
Тогда функция y = f(g(x)) дифференцируем в точке x, причем y′=f′(g(x))⋅g′(x)
Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f'(x), но вместо x подставляется g(x).

2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: 

где  - угол наклона секущей AB. 
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. 
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то Δx неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. 
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.

Отсюда следует:

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Построим произвольный график некой функции y = f (x)  на координатной плоскости, построим касательную в точке xо, обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

Производная функция в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной

То есть производная функции  y = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной:

А угловой  коэффициент в свою очередь равен тангенсу  угла α (альфа), то есть:

Угол α (альфа) может быть меньше 90 градусов, больше 90 градусов или равен нулю. 

Проиллюстрируем еще два случая:

1.    Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).

2.    Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох).

.

Задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти значение производной в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и то же).

Ниже рассмотрим  решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох), и через нахождение значения производной через угловой коэффициент.

3. Исследование функции с помощью производной

Производная широко используется для исследования функций, для изучения различных свойств функций. С помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания заданной функции, экстремумы функции, ее наибольшие и наименьшие значения

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

Определение возрастающей функции

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что функция y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции y=sinx  на интервале  мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точку  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки  понимают интервал , где  - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции по уравнению необходимо:

1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. решить неравенства  и  на области определения;

к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Достаточные условия экстремума функции

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из двух признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке  непрерывна.

Тогда

если  при  и  при , то  - точка максимума;

если  при  и  при , то  - точка минимума.

Другими словами:

если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то  - точка максимума;

если в точке  функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то  - точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции

Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Второй признак экстремума функции

Пусть ,

если , то  - точка минимума;

если , то  - точка максимума.

 Этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

ГЛАВА 2. Практическая часть

Задача 1.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки, через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах). Что ещё потребуется — это знание формулы приведения  для тангенса тупого угла.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям.  В данной задаче это точки  (–5; –4), (1; 5).

Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Катеты определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, так как катет АС параллелен оси 0х. Значит

Второй способ решения этой задачи требует знания, как найти коэффициент через координаты двух точек, выделенных на прямой

   и

Как отмечалось, в данной задаче это точки  (–5; –4), (1; 5)

Получаем, что  

Ответ: 1,5

Задача 2.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Задача аналогична предыдущей задаче. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–5; –7), (3; 3).

Катеты также определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох. Значит,

Ответ: 1,25

Задача 3

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–3; 3) и  (5; 11).  Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы  получился внешний угол.

Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох.  Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:

Значит,

Длины катетов считаем по количеству клеток.

Ответ: -1,75

Задача 4

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Решите задачу самостоятельно.

Ответ: -1,75

Задача 5

На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке х0 = 10.

Построим касательную, проходящую через начало координат и точку графика с абсциссой равной 10. Обозначим угол наклона касательной как альфа, а смежный с ним угол как бета.

Значение производной в точке х0 = 10 равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. То есть, для нахождения производной достаточно вычислить тангенс  угла  альфа. Воспользуемся формулой приведения:

Тангенс угла бета можем найти из прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 10:

Ответ: — 0,6

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства  и  на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом,  и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

На первый взгляд задачи, связанные с использованием производной входящие в ЕГЭ по математике, довольно разнообразны. Но на самом деле для их решения нужно изучить совсем небольшой «кусочек» теории.

Заключение

Тему «Производная» изучают не только для получения балла на ЕГЭ.

Производная успешно применяется при  решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни. К примеру.

Производная в географии помогает рассчитать:

1. Некоторые значения в сейсмографии

2. Особенности электромагнитного поля земли

3. Радиоактивность ядерно - геофизических показателей

4.Многие значения в экономической географии

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах, всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока. В   цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени. В электротехнике в основном используется работа переменного тока. Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы. Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:

1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?

Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.

Также с помощью экстремума функции  (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

   Как видно из выше перечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

Список использованных источников

1. Алгебра и начала математического анализа. Алимов Ш.А. 10-11 класс. «Просвещение»,  2015г.
2. Геометрия. Атанасян Л.С. 7-9 класс. «Просвещение», 2018г.
3. ЕГЭ 4000 задач по математике. «Экзамен» 2019
4. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Под редакцией И.В. Ященко. «Национальное образование», 2019
5. Использование ресурсов сети Интернет:

https://ru.wikipedia.org/

http://www.cleverstudents.ru

https://ege.sdamgia.ru/

http://fipi.ru/

Приложения