Учебно-методическая разработка урока алгебры на тему "Исследование функций с помощью производной" (для учащихся 10 классов)
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

АНО СОШ «Димитриевская»

ПЛАН  ОТКРЫТОГО  УРОКА

по теме

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ»

Учитель математики

Астанин Михаил Яковлеви

Москва

2010

Урок - зачет по теме

«Применение производной к исследованию функций»

2 часа

Цели:

1. Контроль и самоконтроль знаний и навыков по теме «Применение производной к исследованию функций» в системе тестов, дифференцированных по степени сложности.
2. Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.
3. Воспитание интереса и любви к предмету через содержание  учебного материала, умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели; умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование:

1. Плакаты «Определение производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Графики функций и их производных».
2. Тесты

Ход урока.

1. Организационный момент.

• Приветствие.
• Сообщение цели урока.
• Объявление плана урока.

2. Основная часть.

• Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Сообщение ученика (Учебник, стр 155, п. 1) [1]

Производная - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке  в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости  прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает дифференциального    исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник «Дифференциальное исчисление».

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

• Работа с классом.

Проверка домашнего задания - опрос по основным теоретическим положениям по теме.

1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
2. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
3. Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
4. Необходимое условие экстремума.
5. Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума. Примеры функций, имеющих экстремумы и не имеющих.
6. Алгоритм отыскания экстремумов функции.
7. Схема исследования функции (с помощью производной).
8. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции

1. на отрезке
2. на незамкнутом промежутке

Привести примеры функций:

1. Имеющих критические точки, в которых f’(x) не существует.
2. f’(x0) = 0, но x0  не является точкой экстремума.
3. f(x) = . Найти f’(x). Найти  f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
4. f(x) =.  Найти f’(x). Найти  f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
5. Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке минимума.

 (ответ: да, может)

6. Работа по рисункам на доске.

По характеру изменения графика функции указать на каких промежутках производная положительна, на каких - отрицательна (каждая из функций определена на R).

7. C помощью графика производной найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Дан график производной функции h(x).

На каких промежутках h(x) возрастает, убывает?

Ответ: h(x) возрастает на [-5;2], [4;8]

             h(x) убывает на (-;-5], [8;+ ).

8. При каких значениях переменной x функции имеют точки максимума и минимума? Назовите эти точки.

Ответ: 

а) x = -2 – точка минимума; x = 2 – точка максимума

б) -4 и 1 – точки максимума; -1 и 3 – точки минимума

в) x = 2 – точка максимума

9.  Проблемная ситуация:

Задача. Определить какое из чисел больше? [7]

Сравнить числа:

(cos 1990) и (1+cos 1991).

Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.

 Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.

Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M

В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания функции:

Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x1 и x2 из множества Р, таких, что x2 > x1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) .

Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных условиях для учеников - задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.

Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит знак этого неравенства: M   N     M + C    N + C

Положим С=1990, тогда:

C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 +cos l991.

Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию

                             f(x) = x + cosx,

то   С + М = f(1990),   C + N = f(1991).

Итак, имеем две точки x1 и x2:

x1 = 1990,   x2 =1991;   x1 < x2 ;

надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.

Определим характер монотонности f(x):

так как  f'(x) = 1 — sinx  0   и  f'(x) = 0  при х= , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.

Поэтому:  f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N => (cos l990) < (1 + cos l991)

(Для эффектности можно взять числа 1989 – год рождения учащихся, 2007 – текущий год).

10.  Работа с тестами.

Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на три уровня глубины изучения темы:

А – минимальный уровень

Б – базовый уровень

В – углублённый уровень.

Тесты прилагаются. [6]

Ответы:

Тест 1. График функции и график производной.

Тест 2. Дифференцирование.

Тест 3. Связь свойств функции и производной.

.

3. Заключительная часть.

• Подведение итогов занятия
• Объявление оценок
• Задание на дом

Литература

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов средней школы. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под редакцией А.Н. Колмогорова. - М., 2010
2. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. / С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. - Просвещение, 2001
3. Зачеты в системе дифференцированного обучения математике: Библиотека учителя математики / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.Л. Лурье и др. - М., Просвещение, 1993
4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 2010
5. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 - 11 классов средней школы. / Б.М. Ивлев, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 2005
6. Производная и её применение. Дидактические материалы по курсу алгебры и началам анализа  (10 - 11 классы). / Санкт-Петербург.  Издательство «Свет», 2004
7. Использование производной в школьных уравнениях и неравенствах. Методические рекомендации. / О. О. Макарычева - Санкт-Петербург, 1994

Учитель  Астанин М. Я.