Функции и их свойства
материал по алгебре

 Всё о функциях  и их свойствах

( в помощь  учителю математики)

                                                           Разработчик: учитель математики    и физики

                                      МОУ «СОШ а. Псаучье-Дахе имени

                                        Героя России О. М. Карданова»

                                                           Мекерова Фатима Магометовна

Функции и их свойства

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.      аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.      табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.      описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.      графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1.      Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2.      Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

            3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2 , справедливо неравенство f(x1)2).

Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а; b), если для любых  x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х2 -  четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х3 - нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2+х).

Свойства некоторых функций и их графики

1.      Линейной функцией называется функция вида , где  k  и  b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b)  и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3.  Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3.      При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид  у = b  и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции  у = b  является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b  совпадаете осью Ох.

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если  . При k < 0 имеем, что у > 0, если  и у < 0, если .

2. Функция y = x2

Область определения этой функции - множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.

График функции y = x2 называется параболой.

Свойства функции у = х2.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

3.Фунуция

Область определения этой функции - промежуток  [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

Свойства функции.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.  Множеством значений функции    является промежуток [0;+∞).

4. Функция  не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция  возрастающая в области определения.

6.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x3

Область определения этой функции - множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х3 называется кубической параболой. 

Свойства функции y = x3.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в первом и третьем координатном углах.

3.  Множеством значений функции у =  х3 является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х3 - нечетная).

4.      Функция у = х3 возрастающая в области определения.

5.      Функция y = |x|

Область определения этой функции - множество R  действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6.      Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции.

                             у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax2+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.

 В квадратном уравнении ax2+bx+c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным членом.

 Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

.

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.

 Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax2+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число  называют двукратным корнем.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax2+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая  и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

.

Уравнения вида

аx2 +bx = 0,   ax2 + с =0,   аx2 = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Теорема Виета. 

 Сумма корней квадратного  уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

; .

Обратная теорема.  

  Если  сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Функция вида ах2 +bх + с называется квадратным трехчленом.   Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

 ах2 +bх + с =а(х-х1)(х-х2)

где х1   и   х2   —   корни   трехчлена

 Если  дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах2 +bх + с =а(х-х1)2 

где х1 — корень трехчлена.

Например, 3х2 - 12х + 12 = 3(х - 2)2.

Уравнение вида ах4   + bх2   + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х2 = y  оно приводится к квадратному уравнению аy2 + by + с = 0.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

            Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

            -  Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а < 0          (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

- Нули:

при D > 0      два нуля: ,

при D = 0      один нуль:

при D < 0     нулей нет

- Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то          

если, а > 0, D = 0, то      

eсли а > 0, D < 0, то     

если а < 0, D > 0, то    

если а < 0, D = 0, то     

если а < 0, D < 0, то     

-         Промежутки монотонности

при а > 0 

при а < 0 

            Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.

            Координаты вершины параболы определяются по формулам:

;  .

Преобразование графиков функции

            1. Растяжение графика у = х2 вдоль оси у в |а| раз (при |а|  < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах2.

2.      Параллельный перенос графика функции у = ах2 вдоль оси х на |m|  (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2.

3. Параллельный перенос графика функции  вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах2 + bх + с > 0 и ах2 + bх + с < 0, где х — переменная, a, b и с — некоторые числа, причем, а≠0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Для решения неравенств вида ах2 + bх + с > 0 и ах2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1)  находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2)  если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3)  находят на оси х промежутки, для которых точки параболы  расположены  выше  оси  х  (если  решают  неравенство ах2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах2 + bх + с < 0).

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1.  Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2.  Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если ki четное, то нуль четной кратности, если ki нечетное — то нечетной).

3.  Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для  приведенного  вида  неравенств.   При  переходе  справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:

•    если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

•    если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4.      Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

            Найден нули функции. Они равны: х1 = -6; х2 = -1; х3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

(4; +∞).

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.