Презентация на тему: "Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни"
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни Учитель математики МБОО «Лицей села Верхний Мамон» : Ефимьева Наталья Викторовна

Слайд 2

Слово «прогрессия» имеет латинское происхождение ( progression , что означает «движение вперед») В первые встречается у римского автора Боэция (V-VI в .).

Слайд 3

Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы : 1+2+3 +…+n = , 2+4+6+…+2n = n(n+1), 1+3+6+…+(2n+1) = ( n+1) 2

Слайд 4

«10 братьев, 1 - мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом - на сколько он выше?» Решение: Начинается решение с нахождения средней арифметической (средней доли), деля 1 мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть ми ны . Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 сту пеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т. е. разность прогрессии , от мины, или + мины . Вавилонская задача Арифметические прогрессии в древности

Слайд 5

Задача легенда Геометрические прогрессии в древности Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

Слайд 6

Решение задачи - легенды n = 64 Дано: геом. прогрессия; 1 , 2, 4, 8, 16… 2 64 -1=18 446 744 073 709 551 615

Слайд 7

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Слайд 8

Прогрессии в жизни и быту Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.

Слайд 9

Применение прогрессий в разных отраслях Геометрия : Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

Слайд 10

Химия: при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химической реакций растёт по геометрической прогрессии. Применение прогрессий в разных отраслях

Слайд 11

Биология. « Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток » Применение прогрессий в разных отраслях

Слайд 12

Решение: В сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение - за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b 1 =1, q =2, n =72, находим, что S 72 =2 72 -1= 4 722 366 482 869 645 213 696 - 1 = 4 722 366 482 869 645 213 695.

Слайд 13

Физика. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения. Применение прогрессий в разных отраслях

Слайд 14

Решение : Составим математическую модель задачи: в первую секунду 5м, во вторую секунду 15м, в третью секунду 25м, в четвертую секунду 35м, в пятую секунду 45м. Всего за пять секунд 5+15+25+35+45=125(м).

Слайд 15

Применение прогрессий в разных отраслях Медицина. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Слайд 16

Решение: Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 а п =а 1 + d ( n -1), 40=5+5(п-1), п=8, S п =(( a 1 + a п ) n )/2, S 8 =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Слайд 17

Экономика: прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии . Применение прогрессий в разных отраслях

Слайд 18

Вывод Зная эти формулы, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.