Презентация на тему "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ" 9 класс
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Устная работа Последовательность (х n ) задана формулой: х n = n 2 . Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168? 144=12 2 =х 12 225=х 15 , 100=х 10 48 и 168 не являются членами последовательности, 49 – является.

Слайд 3

Устная работа О последовательности ( u n ) известно, что u 1 =2 , u n+1 =3u n +1 . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности. Рекуррентный способ. u 1 = 2 u 2 =3u 1 + 1=7 u 3 =3u 2 +1 =22 u 4 =3u 3 +1 =67

Слайд 4

Устная работа О последовательности ( a n ) известно, что a n =(n-1)(n+4) Как называется такой способ задания последовательности? Найдите n , если a n =150 ? Формулой n -ого члена. Заметим, что в формуле n- ого члена множители отличаются друг от друга на 5. 150 =(n-1)(n+4) 150=10·15 n= 11

Слайд 5

Что такое ПРОГРЕССИЯ? Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression), что означает «движение вперед» и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Слайд 6

БОЭЦИЙ Ани́ций Ма́нлий Торква́т Севери́н Боэ́ций , в исторических документах Ани́ций Ма́нлий Севери́н (ок.480 — 524 ( 526) ), один из наиболее авторитетных государственных деятелей своего времени, знаток и ценитель греческой и римской античности, философ-неоплатоник, теоретик музыки, христианский теолог . Помимо богословских трудов в трактатах по дисциплинам квадривия — арифметике («De institutione arithmetica») и музыке («De institutione musica») — передал европейской цивилизации метод и базовые знания лучших греческих авторов (преимущественно пифагорейцев) в области «математических» наук. Боэций (слева) на фреске Рафаэля «Афинская школа»

Слайд 7

Что общего в последовательностях? 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Найдите для каждой последовательности следующие два члена. 22, 26 -4, -7 5, 5

Слайд 8

Арифметическая прогрессия Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. ( a n ) - арифметическая прогрессия, если a n+1 = a n +d , где d -некоторое число.

Слайд 9

Разность арифметической прогрессии Число d , показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии. d=a n+1 -a n + d + d + d + d + d + d + d a 2 a 1 a 3 a n a n-1 a n+1

Слайд 10

Свойства прогрессии 2, 6, 10, 14, 18, …. 11, 8, 5, 2, -1, …. 5, 5, 5, 5, 5, …. Если в арифметической прогрессии разность положительна (d>0) , то прогрессия является возрастающей . Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( d<0) , то прогрессия является убывающей . В случае , если разность равна нулю ( d=0 ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной . d =4, a n+1 >a n d =-3, a n+1

Слайд 11

Задача На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался. a 1 =50, d =3 1 числа: 50 т 2 числа: +1 машина (+3 т) 3 числа: +2 машины(+3·2 т) ……………………………………… 30 числа:+29 машин(+3·29 т) a 30 =a 1 +29 d a 30 =137

Слайд 12

Формула n -ого члена a 1 a 2 =a 1 +d a 3 =a 2 +d=a 1 +2d a 4 =a 3 +d=a 1 +3d …………………… .. a n =a n-1 +d=a 1 +(n-1)d a n =a 1 +d (n-1)

Слайд 13

Пример 1. Последовательность ( c n )-арифметическая прогрессия. Найдите c 81 , если c 1 =20 и d =3 . Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 81 =с 1 + d (81-1), c 81 =20+3 ·80, c 81 =2 60. Ответ: 260.

Слайд 14

Задача. В арифметической прогрессии четные члены оказались затёрты: 3, …, 7, …, 13… Можно ли восстановить утраченные числа? Заметим, что a 3 =a 1 +2 d , a 5 =a 3 +2 d , a 7 =a 5 +2 d и т.д. Тогда d =( a n+2 -a n ):2 , то есть d =2. Искомая последовательность 3, 5 , 7, 9 , 13, 15 , … Можно ли найти пропущенные члены последовательности, не вычисляя разности?

Слайд 15

Характеристическое свойство арифметической прогрессии Пусть a n – искомый член последовательности. Воспользуемся тем, что разность между соседними членами последовательности постоянна: a n -a n-1 =a n+1 -a n , 2 a n =a n-1 +a n+1 , a n =( a n-1 +a n+1 ):2 Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов.

Слайд 16

№ 577 б Последовательность ( c n )- арифметическая прогрессия. Найдите c 21 , если c 1 =5,8 и d =-1,5. Решение: Воспользуемся формулой n-ого члена с 2 1 =с 1 + d ( 2 1-1), c 21 =5,8+(-1,5) · 2 0, c 21 =-24,2 . Ответ: -24,2 .

Слайд 17

Задача. Числовая последовательность задана формулой a n =3+5 n , n =1,2,3,… Является ли эта последовательность арифметической прогрессией? Если да, то какова ее разность? Решение: Поскольку a n+1 =3+5( n +1)=3+5 n +5= a n +5 , при всех значениях n , то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы a n+1 = a n +5 разность этой прогрессии равна 5.

Слайд 18

Интересный факт Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой a n =kn+b, где k и b – некоторые числа. a n =a 1 +d(n-1)=dn+(a 1 -d) Последовательность( a n ), заданная формулой вида a n =kn+b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией. a n+1 -a n =k(n+1)+b-(kn+b)=kn+k+b+kn-b=k

Слайд 19

Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии. Дано: a 7 =1, a 7 =a 4 -a 2 . Найти: a 1 . Решение: По условию a 7 =a 4 -a 2 , то есть a 7 = 2 d , но a 7 =1, поэтому d =0,5 . a 7 =a 1 +6 d , a 1 =a 7 - 6 d , a 1 =1-6·0,5, a 1 =-2

Слайд 20

Домашнее задание: пункт 25, № 578а, № 580б, №582, №586а, №601а. Творческое задание: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что k

Слайд 22

Основные формулы: Рекуррентный способ задания арифметической прогрессии a n+1 =a n +d Разность прогрессии d=a n+1 -a n Формула n -ого члена a n =a 1 +d(n-1) Характеристическое свойство