Конспект урока по алгебре в 7 классе "Бином Ньютона. Треугольник Паскаля"
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

Урок алгебры в 7 классе.

Тема. «Бином Ньютона. Треугольник Паскаля».

Дидактическая цель урока: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации средствами технологии проблемного обучения и с использованием элементов личностно-ориентированного обучения.

Цели урока:

• Познавательные:  продолжить формировать  навыка применения формул сокращенного умножения, познакомить с биномом Ньютона, треугольником Паскаля, применение этих знаний при преобразовании выражений.
• развивающие: развитие воображения, мыслительных процессов анализа, сравнения, обобщения; продолжить работу по развитию умений наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии;
• воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, работать коллективно, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Тип урока: Обобщение  знаний по теме «Формулы сокращенного умножения».

Технологии обучения: личностно– ориентированная, технология сотрудничества.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: , раздаточный материал – треугольник Паскаля, Распечатки с заданиями для учащихся. Оценочные  карты  «учета достижений учащихся».

Структура урока:

1. Организационный момент.  

• Проверить готовность к уроку (наличие учебника, тетради, чертёжных принадлежностей);

2. Актуализация знаний.

Ребята, сегодня на уроке мы продолжаем изучение формул сокращенного умножения.

Человек по своей природе изобретатель, он придумывает, изобретает всё, что могло бы в какой-то степени облегчить физический труд, украсить быт, помочь в умственной работе.

Так появились формулы сокращенного умножения, которые намного упрощают умножение многочлена на многочлен.

А какие формулы сокращенного умножения знаете вы?

 Игра «Смотри не ошибись».

Проверим, как вы умеете пользоваться этими формулами.

Проверка самостоятельной работы.

3. Изучение нового материала.

Цели облегчения умственного труда человека вот уже несколько лет служат такие открытия человека как «Треугольник Паскаля» и «Бином Ньютона».

Знакомству с ними мы и посвятим этот урок. И так, запишите тему урока: Треугольник Паскаля и Бином Ньютона.

У вас на столах имеется таблица чисел, записанных в виде треугольника. Рассмотрите внимательно эту таблицу и установите правило, по которому записаны числа в этой таблице.

 (По краям каждой строки таблицы стоят единицы. Каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки).

Исторический экскурс. Сообщение 1. 

Французский ученый 18 в. Блез Паскаль стал интересоваться математикой в раннем возрасте.

Маленький Блез самостоятельно нашёл доказательства первых теорем геометрии Евклида. В шестнадцатилетнем возрасте он доказал утверждение, которое до сих пор изучается в высших учебных заведениях под именем теоремы Паскаля.он сконструировал первую вычислительную машину, написал несколько работ по арифметике, алгебре, внес огромный вклад в математическую науку.

Подтверждение тому, что числа треугольника Паскаля появляются в алгебре самым неожиданным образом, мы сейчас получим. Запишем:

•  (а + в)0 = 1
• (а + в)1 = 1а + 1в
• (а + в)2 = 1а2 + 2ав +1 в2
• (а + в)3 = 1а3 + 3а2в + 3ав2 +1 в3
• (а + в)4 = 1а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3  +1в4            

Возникает вопрос: «А как записать в виде многочлена любой степени с натуральным показателем». Оказывается справедливо тождество под названием Бином Ньютона.

Присмотримся внимательно к тождествам  выписанным ранее.

1. Что происходит с показателем «а» и «в» при переходе от каждого слагаемого к следующему? (при переходе от каждого слагаемого к следующему показатель степени а уменьшается, показатель степени в увеличивается).
2. Обратим внимание на сумму показателей степеней в каждом слагаемом. (сумма показателей степени в каждом слагаемом равна показателю степени двучлена).
3. Что можно сказать о коэффициентах слагаемых одинаково удаленных от концов разложений?  (коэффициентах слагаемых одинаково удаленных от концов разложения равны)
4. И, наконец, выпишите коэффициенты перед переменными а, ав, в. Где встречалась сегодня строка этих чисел? («В треугольнике Паскаля»).

4. Закрепление.     

Учитывая всё замеченное очень просто записать степень двучлена с любым натуральным показателем.

Запишем (а + в)5 = _______________________________________

Таким образом, получаем:

(а + в)5 = а5 + 5а4в + 10а3в2 + 10а2в3 + 5ав4 + в5 .

5. Срезовая  работа.

Самостоятельно запишите  (по вариантам)

(а + в)6                                                      (а + в)7

6. Исторический экскурс. Сообщение 2.

Заметим, что к этой формуле пришли различные математики и до Ньютона. В частности её знал математик Николо Тарталья - изобретатель формулы решения уравнения третей степени (1496 - 1568). Знал её и французский математик Блез Паскаль. Однако Ньютон (в 1676 г)сумел обобщить эту формулу и на случай, когда показатель n – произвольное рациональное число. В заключении надо сказать, что бином Ньютона  находит многочисленные приложения в математике. Так, например, современник Ньютона Якоб Бернулли (Швейцария, 1654 - 0706) успешно применял эту формулу для решения важных задач теории вероятностей.

Открытие бинома Ньютона произвело революционный переворот во всей алгебре, прежде всего, потому что сделало возможным общую теорию уравнений. Эта формула очень важна и для дифференциального исчисления.

7.  Подведение итогов. Итак, сегодня мы обобщили и систематизировали знания и умения, приобретённые при изучении формул сокращенного умножения,  поработали с формулами, встретились с занимательной математикой и  услышали исторические факты, решили задания и написали срез. (Итоги подводят ученики)

Выставление отметок.

8. Домашнее задание.    

  Запишите степень с показателем:    (а + в)8, (а + в)9.

Рефлексия.

1. Результатом своей личной работы считаю, что я…

а) разобрался в теории; б) научился решать задачи;

 в) повторил  ранее изученный материал.

2.Что вам не хватало на уроке при решении задач?

а) знаний;  б) времени;

в) желания;   д) решал нормально.

3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке

а) одноклассники; б) учитель  в) никто.