Авторская методика:" Построение графиков функций с помощью дифференциального исчисления".
методическая разработка (11 класс)

Построение графиков функций с помощью дифференциального исчисления.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Построение графиков функций с помощью дифференциального исчисления

Нахождение асимптот графика функции 

ОпределениеАсимптотой графика функции  называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки  графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные , наклонные .

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1Пусть функция  определена хотя бы в некоторой полуокрестности точки  и хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равен  или . Тогда прямая  является вертикальной асимптотой графика функции.

Таким образом,  вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Может случиться, что , а , причем  и   конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов  или , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы   и . Тогда прямая  является наклонной асимптотой графика функции .

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример 1. Найдите все асимптоты графика функции .

Решение.

Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках .

Так как  и  (два других односторонних предела можно уже не находить), то прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции.

Вычислим

 (применим правило Лопиталя) =

.

Значит, прямая   горизонтальная асимптота.

Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).

Ответ: график имеет две вертикальные асимптоты  и одну горизонтальную .

 

 

 

 

Асимптоты графика функции

Виды асимптот

Определение

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или  .

Замечание. Прямая  не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке  . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции  существуют пределы  и , то функция имеет наклонную асимптоту  при  .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая  может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример 2 : Найти асимптоты графика функции 

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: прямая  - вертикальная асимптота, так как

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонная асимптота: .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .

Наклонная асимптота - прямая .

Пример 3 : Найдем асимптоты графика функции y={3-x^2}/{x+2}

1. Начнем с области определения функции. Функция y={3-x^2}/{x+2} не определена в точке x=-2, следовательно прямая x=-2 является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби  {3-x^2}/{x+2}  на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при x{right}{infty} отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции  y={3-x^2}/{x+2}  не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

k=lim{x{right}{infty}}{{{3-x^2}/{(x+2)x}}}=-1

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях x в числителе и знаменателе дроби).

b=lim{x{right}{infty}}{({{3-x^2}/{x+2}}-(-1)x)}= lim{x{right}{infty}}{{3-x^2+x^2+2x}/{x+2}}= lim{x{right}{infty}}{{3+2x}/{x+2}}=2

Итак, уравнение наклонной асимптоты: y=-x+2

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

График функции y={3-x^2}/{x+2}, построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме: 
1) выяснение области определения функции
2) решается вопрос о четности или нечетности функции; 
3) исследуется периодичность функции; 
4) находят точки пересечения кривой с осями координат; 
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции; 
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой
8) отыскание асимптот кривой
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.

ПРИМЕР №1. Провести полное исследование функции             и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке       , причем          , . Попутно отметим, что  

прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум

 надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является

граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2

.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0,

следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости

 может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить

 знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке  и y”<0

на , следовательно, на  кривая вогнута и выпукла на .

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: ,

следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: ,

 наклонная двусторонняя асимптота, следовательно, y=-x – наклонная

двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Алгоритм исследования построения графика функции

Построить график функции

ПРИМЕР №2. Построить график функции 

Решение. 
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞). 
2. Функция не является четной или нечетной. 
3. Найдем точки пересечения графика с осью 
ОХ; имеем 

4. Точки разрыва x=0, причем 
; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика. 
Найдем наклонные асимптоты: 


Наклонная асимптота имеет уравнение 

5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем 
. Существует единственная критическая точка x=2. В промежутках , следовательно, функция возрастает; в промежутке , функция убывает. Далее, находим , следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3. 
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет. 
Строим график функции. 

Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

  1. Область определения  и область допустимых значений  функции.
  2. Четность, нечетность функции.
  3. Точки пересечения с осями.
  4. Асимптоты функции.
  5. Экстремумы и интервалы монотонности.
  6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
  7. Сводная таблица.

Пример

Задание. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью  :

то есть точки 

б) с осью  : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые  и  - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая  - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты  :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:  для любого  из области определения функции;  не существует при  и  .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:  ; при и  вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках  и  функция вогнута, а на промежутках  и  - выпукла. Так как при переходе через точку  вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Интегрированный урок по алгебре и информатике «Построение и исследование графиков функций с помощью Microsoft Office Excel»

В разработке урока вырабатываются умения строить графики функций с помощью компьютера и использование их при решении задач из школьного курса математики....

презентация к интегрированному уроку «Построение и исследование графиков функций с помощью Microsoft Office Excel»

Данная презентация используется на уроке «Построение и исследование графиков функций с помощью Microsoft Office Excel»...

Урок-исследование "Построение графиков функций с помощью производной"

Урок-исследование условий жизни по законам математики....

Построение графиков функций с помощью табличного процессора Excel.

Комбинированный урок с использованием проблемно – поискового метода при решении задач по информатике с помощью табличного процессора. Файл "Приложение" содержит решение, графики и раздаточный материал...

Мастер-класс по теме Построение графиков функций с помощью Мастера диаграмм

Тема: Построение графиков функций с помощью Мастера ДиаграммЦель: Формирование навыков построения графиков с помощью Мастера диаграмм, расширение представления о возможностях электронной таблицы...

Методическая разработка урока по теме "Построение графиков функции с помощью производной".

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе. Соответствует требованиям ФГОС второго поколения. Используемые технологии: критическое мышление через чтение и письмо, ИКТ, технология сотрудничества и п...

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ВЕЛИЧИН С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Анализ задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений в школьных учебниках по алгебре и началам анализа10-11 классов.  Методические особенности применения производной  к решению зада...