Исследование квадратного уравнения
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

ИССЛЕДОВАНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Класс: 8  

Цель урока: 

1. Образовательная - повторить и закрепить сведения, полученные в результате изучения темы «Квадратные уравнения»; научить применять полученные знания в новых условиях для исследования квадратного уравнения.

2. Развивающая – создать условия для активизации компонентов математической деятельности (умения анализировать математическую ситуацию, выдвигать и проверять гипотезы, доказывать предположения).

3. Воспитательная – воспитывать уверенность в своих силах и умениях, внимание и аккуратность; формировать коммуникативные умения.

Используемое оборудование: 

проектор, индивидуальные раздаточные карточки, доска.

Краткое описание: 

Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и теорема Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию: выяснить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько; для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различны; устанавливать в некоторых конкретных случаях, может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни и т. п. Учащимся приходится применять сформировавшийся математический аппарат в усложненных ситуациях. Урок проводится как закрепление темы «Квадратные уравнения», чтобы проверить, как хорошо учащиеся овладели опорными знаниями и умениями. Решение заданий, предложенных на уроке, связано с использованием зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и применением теоремы Виета. Это задания на определение числа корней квадратного уравнения с числовыми коэффициентами и знаков корней, выявление условий, при которых уравнение с буквенными коэффициентами имеет два корня, один корень, не имеет корней. Решение этих задач связано с оценкой выражений, решением уравнений и систем.

Используемые образовательные технологии: На всем протяжении урока учащиеся работают в группах, причем, целесообразно организовать группы таким образом, чтобы в одной группе присутствовали учащиеся с разным уровнем подготовки. Это позволит снизить психологическое напряжение, создать ситуацию успеха: сильные учащиеся помогают учащимся послабее, те, в свою очередь, постепенно расширяют свой опыт за счет приобретения новых умений (сравнивают свои действия с образцом, делают выводы, пытаются повторить) – групповые технологии.  

Учащимся на уроке не предлагается готовых алгоритмов действий, они должны самостоятельно, под руководством учителя «открыть» знание (применить полученные знания в новых условиях). Для этого используются специальные задания, которые позволяют создать определенные трудности и поставить учащихся перед необходимостью поиска нового способа действия – проблемное обучение.

Каждое задание, которое предлагается учащимся оцениватся определенным количеством баллов, в зависимости от уровня его сложности. Исходя из своего опыта, учащиеся выбирают то или иное задание – уровневая дифференциация обучения. Аналогичным образом учащимся предлается домашнее задание.

В качестве вспомогательного средства на уроке используется презентация – информационно – коммуникативная технология.

На уроке присутствуют элементы игровых технологий. На этапе актуализации опорных знаний учащихся используются элементы соревнования, и игровые ситуации «Вспомни понятие», «Реши с обманом».

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Определение зависимости между коэффициентами уравнения и заками его корней.

4. Определение  количества решений квадратного уравнения.

5. Закрепление полученных знаний.

6. Рефлексия.

7. Домашнее задание.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

1) Игровые ситуации «Вспомни понятие» и «Реши с обманом».

Учащимся необходимо по первым буквам вспомнить понятия, связанные с темой «Квадратные уравнения» (буквы можно комбинировать и использовать дважды).

D    у      т     п    н     В    к

(дискриминант, квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение, неполное квадратное урвнение, теорема Виета, корень уравнения).

Учащийся, который назвал понятие, выходит к доске и записывает определение понятия, но при этом целенаправленно допускает ошибку. Задача остальных учащихся найти и исправить ошибку.

2)Решите уравнения:

Ответы: а) 0,5; б) 2;3; в) -4;1; г) 0; д) -2;2; е) нет решений.

Группа, которая первой решит правильно все предложенные уравнения, получает право далее выбирать первой задания; вторая группа – второй номер для выбора и т.д.

Давайте проанализируем полученные решения:

• какие виды квадратных уравнений вам встретились?
• что использовали для решения?

Создание проблемной ситуации.

Учащимся предлагаются задания:

1) Не решая уравнение , определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки? (2 балла).

2) Не решая уравнение , определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки? Будут ли корни принадлежать множеству целых чисел? (3 балла).

3) При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку? (4 балла)

4) При каких значениях m, n корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку? (5 балла).

Каждая группа в порядке установленной очередности выбирает задание.

Проблемная ситуация возникает вследствие того, что учащимся необходимо применить полученные знания в измененной ситуации, а именно, исследовать квадратное уравнение, не решая его и оценить возможные значения параметров.

Решения

1)т.к. с=-3175, то D>0, следовательно, уравнение имеет два корня. , следовательно, корни имеют противоположные знаки.

2)  

то оба корня положительные и являются делителями свободного члена, значит, принадлежат множеству целых чисел.

3) q=-2, q<0, следовательно, корни имеют противоположные знаки. Сумма корней равна нулю, значит 3m-5=0, m=5/3.

4) т.к. корни противоположны по знаку, то m<0 и может принимать значение только -4. Соответственно сумма корней равна 0 и 4n-5=0, n=1,25.

 ВЫВОД:

• Как, не решая квадратного уравнения, можно определить, имеет оно корни или нет?

(сравнить значения коэффициентов)

• В каких случаях дискриминант всегда будет положительным?

( a<0, c>0, D>0; a>0,  c<0, D>0)

• А если a>0, c>0 или a<0, c<0?

(необходимо сравнить )

• Какие выводы можно сделать относительно знаков корней уравнения?

(корни противоположны по знаку, если q<0 или c/a<0, если -p=0 или – b/a=0, то сумма корней равна нулю).

Создание проблемной ситуации.

  Учащимся предлагается следующая группа заданий, для решения которых им необходимо оценить возможные значения дискриминанта, в соответствии с заданными условиями, и, исходя из этого, сделать вывод о значении параметра.

1) Определите зависимость между а и количеством корней уравнения ? (4 балла).

2) Определите при каких значениях b уравнение  имеет два корня. (3 балла)

3) Существуют ли значения с, при которых уравнение  имеет: а) один корень; б) два корня; в) не имеет корней? (4 балла)

 4) При каких значениях а и b уравнение  имеет корни? (5 баллов)

Решения

1)

2)

3)

а) не существует; б) при любых с; в) не существует.

4)

Ответ: при любых а и b уравнение имеет корни.

ВЫВОД:

• Как определить количество корней при решении квадратных уравнений с параметром?

(найти дискриминант и выполнить его оценку)

Закрепление знаний.

1) Решите устно.

О каких уравнениях, не вычисляя дискриминанта, можно с уверенностью утверждать, что они имееют корни:

Правильное решение каждого уравнения оценивается в 1 балл.

2) При каких значениях b уравнение  имеет один корень? (5 баллов)

3) Укажите наименьшее целое значение а, при котором уравнение  не имеет корней (4 балла).

Решения

1) 1; 2;4

2)

3)

Рефлексия

Заполните таблицу самоанализа индивидуальную, а ответственный по группе заполнит сводную таблицу:

Домашнее задание

• Заполните справочник
• На выбор решить любые 2 задания:

1) При каком значении а оба корня уравнения равны 0? (5 баллов)

2) Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение имеет: а) 1 корень; б) 2 различных действительных корня  (4 балла).

3) При каком значении с уравнение имеет один корень? (3 балла).

4) Найдите наибольшее целое значение к, при котором уравнение  не имеет действительных корней (3 балла).

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1 этап

2 этап

1) Не решая уравнение , определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки? (2 балла).

2) Не решая уравнение , определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки? Будут ли корни принадлежать множеству целых чисел? (3 балла).

3) При каких значениях m корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку? (4 балла)

4) При каких значениях m, n корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку? (5 балла).

3 этап

1) Определите зависимость между а и количеством корней уравнения ? (4 балла).

2) Определите при каких значениях b уравнение  имеет два корня. (3 балла)

3) Существуют ли значения с, при которых уравнение  имеет: а) один корень; б) два корня; в) не имеет корней? (4 балла)

 4) При каких значениях а и b уравнение  имеет корни? (5 баллов)

домашнее задание

• Заполните справочник
• На выбор решить любые 2 задания:

1) При каком значении а оба корня уравнения равны 0? (5 баллов)

2) Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение имеет: а) 1 корень; б) 2 различных действительных корня  (4 балла).

3) При каком значении с уравнение имеет один корень? (3 балла).

4) Найдите наибольшее целое значение к, при котором уравнение  не имеет действительных корней (3 балла).