Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №16»

Тема урока:

«Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения».

                                            Учитель математики:

Неворотова Ольга Васильевна

Губкин 2006

Тема: Исследование связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Класс: 8.

Цель урока: Образовательные цели урока:

1. Повторить формулы корней неполных квадратных уравнений.
2. Сформировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.

Воспитательные цели урока:

1. Способствовать выработке у школьников желания и потребности, изучаемых фактов.
2. Воспитывать самостоятельность и творчество.

Развивающие цели урока:

1. Развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации.
2. Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

Материалы и оборудование урока: проектор, слайд-фильм

Ход урока (урок сопровождается слайд-фильмом):

I. Постановка цели урока. Актуализация опорных знаний.

1. 1 учащийся заполняет таблицу у доски

(Остальная часть класса разгадывает кроссворд, используя теоретические знания)

            Задание: если вписать верные слова, то в выделенной строке получится фамилия французского математика

                            Вопросы:

1. Квадратное уравнение с

    первым коэффициентом

    равным 1. (приведенная)

2. Подкоренное выражение

    в формуле корней. (дискриминант)

    квадратного уравнения.

3. Один из видов

    квадратного уравнения. (неполное)

4. a, b в квадратном уравнении.

   (коэффициенты)

В выделенной строке получится фамилия французского математика Виета.

II. Историческая справка.

Слайд №1

Франсуа  Виет

     Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1563 году он оставляет юриспруденцию и становится учителем в знатной семье. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике.

Виет переезжает в Париж, где легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С 1571 года Виет занимает важные государственные посты, но в 1584 году он был отстранен и выслан из Парижа. Теперь он имел возможность всерьез заняться математикой.

В 1591 году он издает трактат «Введение в аналитическое искусство», где показал, что, оперируя  с символами, можно получить результат, применимый к любым соответствующим величинам. Знаменитая теорема была обнародована в том же году.

                Громкую славу получил при Генрихе lll во время Франко-Испанской войны. В течение двух недель, просидев за работой дни и ночи, он нашел ключ к Испанскому шифру.

                Умер в Париже в 1603 году, есть подозрения, что он был убит.

Откройте тетради, запишите число и тему урока.

III. Проверка домашнего задания и формулирование проблемы.

 Слайд №2

Исследование связи между корнями

 и коэффициентами квадратного уравнения.

Обратимся к домашней работе. Дома вы решали 4 уравнения и заполняли таблицу.

Слайд №2.

Проверьте свою работу по таблице. А теперь посмотрите внимательно, что интересного вы заметили? Обсудите это в парах и попытайтесь сформулировать предположение (выслушиваем предположения). Действительно, вы правы, существует такое утверждение.

IV. Изучение нового материала.

Слайд 3.

Утверждение №1:

Пусть х1 и х2 – корни уравнения  х2+pх+q=0.

Тогда числа х1, х2 , p, q связаны равенствами:

х1+х2= -p,     х1х2=q

Утверждение № 2:

Пусть числа х1,х2,p,q связаны равенствами х1+х2= -p,   х1х2=q.

Тогда х1 и х2 – корни уравнения   х2+pх+q=0

Записываем в тетрадях и доказываем данные утверждения. Проверку правильности полученного доказательства можете осуществить по адресу:

 (в процессе доказательства обратного утверждения получается

равенство:  х2+рх+q=(х-х1)(х-х2))

Итак, мы доказали теорему Виета. Запишите ее в тетрадях.

Итак, какие связи между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения мы обнаружили? Чем интересно полученное следствие? Где это можно использовать?

Подумайте и ответьте: где, в каких ситуациях можно воспользоваться теоремой и следствием?

Свои предположения обсудите в парах и полученные ситуации запишите в тетрадь.

(выслушиваем то, что получилось, обсуждаем)

Давайте сравним ваши предположения с предлагаемыми ситуациями.

Слайд №6

 Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета.

1. Проверка правильности найденных корней.
2. Определение знаков корней квадратного уравнения.
3. Устное нахождение целых корней приведенного квадратного уравнения.
4. Составление квадратных уравнений с заданными корнями.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

V. Самостоятельная работа учащихся.

Выполним задания.

Слайд №7 

        Решите следующие задания:

1. Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения    х2 -22х+105=0?
2. Определите знаки корней уравнения   х2+5х-36=0.
3. Найдите устно корни уравнения   х2 -9х+20=0.
4. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа     1/3 и 0,3.
5. Разложите квадратный трехчлен на множители х2+2х-48.

Учащиеся решают в парах, полученные решения объясняют у доски.

VI. Постановка новой проблемы.

Используя ответ задания №4, сначала переходим к квадратному уравнению с целыми коэффициентами, а затем задается вопрос: будет ли верна теорема  Виета для данного неприведенного квадратного уравнения?

Учащиеся в парах обсуждают возникшую проблему, пробуют сформулировать по аналогии обобщенную теорему Виета. Обсуждаем полученные варианты ответов. Затем выясняем, как бы выглядело следствие для таких уравнений. Сравниваем со следующим слайдом.

Слайд №8 

       Обобщенная теорема Виета:

Числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения   ах2+bх+с=0  тогда и только тогда, когда

  х1+х2= -b/а,    х1х2=с/а.

Следствие:   ах2+bх+c=а(х-х1)(х-х2).

VI. Применение полученных знаний.

Учащимся предлагается применить полученные знания в следующих ситуациях.

Слайд №9   

Решите следующие задания:

1. В уравнении х2+pх-32=0 один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.
2. Один из корней уравнения 10х2  -33х+с=0 равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.
3. Разность корней квадратного уравнения  х2 -12х+q=0  равна 2. Найдите q.
4. Определите знаки корней квадратного уравнения ( если они существуют), не решая уравнения:  5х2-х- 108=0.
5. Найдите b и решите уравнение (b-1) х2-(b+1)х=72, если х1 = 3.

Учащиеся решают в парах, полученные решения объясняют у доски. После решения этих заданий подводится итог урока.

VII. Итог урока. Задание на дом.

Слайд №10    

       Итог урока:

1. Знакомство с теоремой Виета и следствием.
2. Применение теоремы Виета в различных ситуациях.

Домашнее задание

Слайд №11 

      Домашнее задание:

Корни уравнения  являются натуральными числами. Доказать, что  - составное число.

Проверить свое решение или обратиться к подсказке можно по адресу

Стр.50 – 62  прочитать, выучить теоремы и следствия.

Стр.66 , №51.