«Функция показательная, её график и свойства»
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

Тема занятия «Функция показательная, её график и свойства»

Цель занятия:

Формировать учебную мотивацию, закрепить знания о показательной функции, ее свойствах и графике.

Задачи:   

Образовательная – использование свойств степеней, знание определения показательной функции, формирование умений строить график функции, определять её свойства, формирование графической культуры учащихся

Развивающая – развитие мыслительных операций посредством наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, сравнительного восприятия учебного материала, развитие зрительной памяти, развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию, способствование развитию творческой деятельности учащихся.

Воспитательная – воспитание познавательной активности, потребность в объективной оценке результатов, умение работать в группе, чувства ответственности, уважения друг другу, взаимопонимания, уверенности в себе.

Тип занятия: по основной дидактической цели – занятие изучения нового материала;

по основному способу проведения - беседа в сочетании с практической деятельностью учащихся;

по основным этапам учебного процесса – комбинированный (первичное ознакомление с материалом, образование понятий, установление связей и закономерностей, применение полученных знаний на практике).

Средства обучения: компьютер, классная доска, медиапроектор, слайдовая презентация, мм бумага, рабочая тетрадь, чертёжные инструменты.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, групповая, диалог, работа с текстом слайда, исследовательская работа.

Методы: наглядный, словесный, графический, эвристический, исследовательский.

Сроки проведения: 2 часа учебного времени

Содержание

Организационный момент--------------------------------------------------2 мин

Мотивационная беседа и актуализация опорных знаний----------10 мин

Целеполагание----------------------------------------------------------------  4мин

Изучение нового материала-----------------------------------------  34 мин

Электронные физминутки для глаз

Назначение иллюстраций

Изучение свойств показательной функции с использованием уже построенных графиков

Схематичное изображение графика функции у=ах

Физминутка

Построение графика функции путем сдвига вдоль оси ординат

Самоконтроль знаний

Алгоритм построения графика функции

Первичное закрепление нового материала-------------------------   25 мин

Оздоровительный момент

Исследовательская работа в группах

Решение задач на закрепление темы

Подведение итогов------------------------------------------------------------3 мин

Домашнее задание------------------------------------------------------------2  мин

                                               Реальные результаты:

Предметные:

 функционально представлять функцию у=ах на наглядном чертеже;

уметь строить графики  функции у=ах при различных значениях а; свободно читать графики, уметь отражать свойства функции на графике.

Личностные:

заниматься с мотивом «мне интересно, я хочу это знать», объективно оценивать результаты. Метапредметные результаты:

иметь навыки работы с различными видами и источниками информации; уметь работать в «группе», ответственно относиться к своим поступкам, уважать мнение товарища, быть  уверенным  в себе.

Регулятивные:

точно определять цель и планирование путей её достижения, уметь принимать правильное решений в проблемной ситуации, справедливо оценивать себя.

Коммуникативные:

высказывать своё мнение, искать позиции, объединяющие различные точки зрения.
Познавательные:

восприятие поставленной  цели

                                                      Ход занятия

1.Организационный момент

Притча «Всё в наших руках»

Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все.  Зажав в ладонях бабочку, он спросил: «Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?» А сам думает: «Скажет живая, я ее омертвлю, скажет мертвая – выпущу». Мудрец, подумав, ответил: «Все в твоих руках».

Наша же главная задача – включить всего себя в деятельность, обеспечивающую формирование и развитие познавательных способностей, ключевых компетенций, необходимых для успешности в учебе и жизни. Задача эта будет выполнима в случае, если  усилия всех нас будут направлены в единое русло и из успехов каждого из нас сложится общий успех.(слайд №1)

2. Мотивационная беседа и   актуализация опорных знаний : (слайд №2)

• Слово «функция» происходит от … и означает  в переводе …
• Более строгое математическое определение функции звучит так: …
• В определении функции говорится о переменных х и у.
• Как принято называть переменную х и переменную у? Почему? Какие виды функций вам известны?
• Зачем же нужно изучать функции?
• Например? (слайд №3)

Вывод:

Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания процессов природы и общества.

Актуализация знаний продолжатся работой по карточке 1 с помощью заданий, которые выдаются каждому учащемуся. Задания одни и те же, потому что целью  заданий является не столько контроль знаний, сколько актуализация знаний, необходимых для сознательного восприятия нового содержания. (слайд №4, приложение I)

Работа по карточке продолжается 5-10 минут.

Далее проводится обсуждение выполненных заданий, уточняется понимание учащимися теоретических знаний, необходимых для изучения нового материала:                                                                                   - определение функции;

- способы задания функции;

- область значения функции;

- монотонные и немонотонные функции, промежутки возрастания и убывания функции;

-графики элементарных функций.

3. Изучение нового материала. 

Для обеспечения практической направленности учебного процесса, объявляю  "Вы знаете, недавно мне в руки попала сенсационная секретная информация. Это был репортаж о запуске космического корабля, не вышедший, к сожалению, в эфир. Послушайте запись этого репортажа. Звучит магнитная запись о быстром росте числа колоний живых организмов (бактерий), что поставило под угрозу жизнь экипажа и грозит катастрофой планете.

Ученые установили, что рост числа бактерий происходил по такой зависимости:(слайд№8)

,где t – время размножения, а N – число колоний бактерий.

Подсчитайте, как изменится число колоний бактерий за 2 секунды? (увеличится до… ). За 3 секунды? (увеличится до…)

Т.е. каждому моменту времени соответствует свое определенное число бактерий."

Спрашиваю: "Любите комаров, мух и мошек?

Если им создавать благоприятные условия. Они будут размножаться с головокружительной быстротой.

 Для данных видов зависимостей ученые составили следующую математическую модель: (слайд №5)

Что представляет из себя правая часть формулы? (Степень).

Чему равно основание степени? (Основание равно ).

А что такое х? (показатель степени)

Поэтому эту функцию назвали.… Как вы думаете? (Показательной функцией) А почему?

Именно потому, что аргумент находится в показателе степени, она носит название показательной функции.

Попробуйте сформулировать тему занятия. (“Показательная функция”)

Сегодня мы с вами выясним, показательная функция -благо или вред для нас?

Затем читают новое определение в учебнике: Функция вида у=ах, где а>0, а≠1,называется показательной, содержание которого им понятно.

Благодаря проделанной предварительной работе, учащиеся уже не задают вопросов и не просят пояснений по поводу значений переменой а.

Целеполагание осуществляется следующими вопросами. (слайд №6)

Что же о показательной функции мы должны узнать?

На какие вопросы нам хотелось бы получить ответы?

• Где показательная функция применяется?
• Узнать определение показательной функции. Почему она так называется?
• Как выглядит график показательной функции?
• Какими свойствами обладает показательная функция?
• Узнать, где применяется показательная функция?
•  Как используются свойства данной функции?

Далее предлагается разобрать построение неизвестного графика   у=ах, предварительно выяснив, какие значения может принимать а (приложение II слайд №7)

 Всегда ли выполнимо действие возведения в степень на множестве действительных чисел?( поисково-исследовательская работа)

Этот вопрос задается учащимся для того, чтобы они проверили (а не поверили учителю на слово), что не при любом значении а, предложенная зависимость будет являться показательной функцией. Как правило, учащиеся отвечают, что любое число можно возвести в степень, что по сути правильно. Далее идет проверка вариантов значений. Используя определение степени с рациональным показателем, рассматриваем все возможные числа а. (При  а = 0 получаем линейную функцию у = 0 для любого положительного значения х; для а = 1 получаем линейную функцию у = 1.)

Уточним, что на занятии рассматриваются те варианты, которые предлагают учащиеся. Они обязательно предложат все нужные варианты, при рассмотрении которых будет введено понятие показательной функции.

Остается рассмотреть еще два варианта, которые также будут предложены учащимися: а > 1 и а < 1.

В целях экономии времени выдаются шаблоны координатных плоскостей (раздаточный материал ,слайды №8,9,10,11), на которых они строят следующие графики. (Учащиеся строят графики на шаблонах, педагог — на доске.)

Актуальность данной темы заключается в ее применении при изучении тем «Изменение атмосферного давления с изменением высоты» на уроках физики; «Цепные реакции» на уроках химии; «Выбрасывание адреналина в кровь и его разрушение» на уроках биологии; «Рост колоний живых организмов (в частности, бактерий)», а, значит, в практической жизни. (слайд №12)

Назначение иллюстрации. 

Через содержание занятия специально  продумываю воспитание в процессе обучения. Ценностным основанием выбора и трактовки учебного материала на занятии считаю показатели успеха.

Стремлюсь помочь детям раскрыть для себя личностный смысл любого изучаемого на занятии материала.

Спрашиваю:"Хотите стать депутатами?

Вам будет нужна предвыборная компания. Выбираете себе в помощники двух доверенных лиц (слайд №13). Каждый из доверенных лиц в течение следующего дня, привлекает в вашу команду еще по 2 человека.. Что произойдет с  вашей командой, если эту работу продолжить по той же схеме? Если эту работу продолжить, то команда ваша будет очень быстро расти.    (                 ) (приложение III)

"Значит, возрастающая показательная функция -одна из главных принципов успеха . Показатели успеха для каждого человека свои..Для одних- совершить плохой поступок, чтобы пропиариться, для других -бескорыстное служение людям и обществу, мать Тереза тому весьма хороший пример.

А что же  является нашим успехом? Да, ничто не сравнится с качественными знаниями и добрыми делами, даже в нашей излишне «материальной» жизни.

 Два вопроса задавайте себе ежедневно. Что я сделал сегодня, чтобы приблизиться к моей цели?

Как то, что я сегодня сделал приближает меня к моей цели?

Не давайте себе топтаться на месте. Лучше идти медленно, чем стоять на месте. Не так ли?"

Для того, чтобы быстрее проверить и обсудить графики, построенные учащимися, есть готовые чертежи (приложение IV, V)

Затем изучаются свойства показательной функции(мысленный эксперимент) с использованием уже построенных графиков (приложение VI, карточка 2 , карточка 3, слайды №12,13,14).

Каждый график анализируется по следующим вопросам:

1. Является ли функция монотонной?
2. Она возрастающая или убывающая?
3. Обязательно ли строить график, чтобы определить свойства функции?

При рассмотрении каждого графика, учащимся задаются конкретные вопросы для анализа каждого из них, например, формулы графиков № 1 и № 2 имеют равные основания, но первая функция является возрастающей, а вторая -убывающей. Следовательно, учащиеся подводятся к выводу, что возрастание и убывание монотонной показательной функции зависит не только от основания, но и от коэффициента при х. (Основание степени сравнивается с 1, коэффициент при х сравнивается с 0)

Почему так важно знать свойства показательной функции?(мозговой штурм) (слайд №16)

Схематичное изображение графика функции у=ах (работа в парах, слайд №17)

Учитывая учебные и воспитательные возможностей учащихся, при построении графиков делаем вывод: чем больше уровень  знаний по теме, тем ближе мы к цели, к оси у(слайды№14):, к качественным знаниям и наоборот, отрицательные показатели, отдаляют нас от мечты (мысленный эксперимент, слайд№15).

Ценятся на занятии личностно-ориентированная система обучения и "искусство доказывать и догадываться".  Исследуя  построение графиков функции путем сдвига вдоль оси ординат, оси абсцисс, самостоятельно догадываются, доказывают, защищают свои решения(эвристический метод). В течение всего занятия задействован каждый учащийся.

Далее учащимся предлагаются задания на построение графика функции путем сдвига вдоль оси ординат на шаблонах координатной плоскости (карточка 4,слайд №18,19)

Затем проводится с целью воспитания уверенности и внимательности самоконтроль знаний (слайды 20,21)

Учащиеся быстро справляются с предложенными заданиями, и лишь в редких случаях им требуется  консультативная помощь учителя.

Проводится оздоровительный момент под музыку "Цепная реакция".
Говорю:"Он будет связан с развитием вашего воображения. Выполняем следующее упражнение: Закрываем глаза и представляем, что у вас вырос нос как у Буратино. Обмакнем его, как в сказке, в чернила и чертим как можно красивее носом в воздухе график показательной функции, сначала возрастающей, затем убывающей., особенно фиксируем перед глазами точку(0;1), через которую проходят все графики. Запоминаем рисунок."

Далее даются задания описать алгоритм построения графика функции (приложение VII, карточка №5)
Все учащиеся выполняют построение графиков функций в тетрадях.
Проверяется работа учащихся по слайдам №22,23.

Электронные физминутки для глаз (слайд 24)

С целью развития научной деятельности учащихся проводится исследовательская работа  в группах (приложение VIII, карточка №6, слайды 25, 26)                               

Группа делится на 2 подгруппы, каждая выполняет  своё задание.
Закрепление темы (слайды №27, 28)

Рефлексия

Обсуждаю с детьми в конце занятия не только то, «что мы узнали», но и то, что понравилось (не понравилось) и почему.

Итог занятия. 

Подводя итоги занятия, применяем  замечательное свойство показательной функции к нашей жизни: скорость роста пропорциональна значению самой функции.

За основание а- взяли себя, за функцию у- наши действия. От показателей- лени и труда зависит исполнение нашей мечты. Благо, если совершаем мудрые, добрые поступки, бедствие.- если всё время мы идём по убывающей линии? И что станет с нами? Дети делают для себя выводы. .

Вывод. На занятии было введено определение показательной функции и рассмотрены её основные свойства, которые будут необходимы учащимся в дальнейшем при решении уравнений и неравенств, в том числе с параметрами.

Домашнее задание.

Учащиеся  по желанию получают отпечатанный вариант домашнего задания. Домашнее задание дифференцированное, каждый выбирает его по уровню притязаний.

По возможности  - дифференциация домашнего задания по характеру, содержанию и объему для разных групп учащихся: с целью развития творчества у одних, закрепление пройденного материала другими и экономии третьими

                                                                  Литература

1. Алгебра и начала анализа: Задачник, часть 2, для 10-11кл./ под ред. А.Г. Мордковича.- М. Мнемозина, 2002.
2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.
3. Л.В.Занков "Теория развивающего обучения"– М.: Просвещение, 1970.
4. Уроки алгебры «Функции: графики и свойства»  7-11классы  «Планета»
5. Приложение к журналу «Методист», «Мастер-класс».
6. Поурочные планы «Алгебра и начала анализа. 10 класс» Т.Л.Афанасьева, Л.А.Тапилина. 2001.
7. Якиманская И. С. «Развитие пространственного мышления школьников». – М.: Просвещение, 1980. – 240 с.  Рецензенты: Мухаметшин А. Г., доктор педагогических наук, профессор, декан факультета педагогики и методики начального образования Набережночелнинского института социально - педагогических технологий. Начало формы