Преобразование графиков тригонометрических функций 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Разработка урока составлена учителем математики

МОУ «СОШ №2», г.Белоусово Пешковой О.К.

Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций»,  10 клас        

Учебник: Алгебра. 10-11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/         Колмогоров А.М. – М.:Просвещение

Тип урока: изучение нового материала

Образовательные цели:

• научить строить графики тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований;
• научить строить графики тригонометрических функций, требующих выполнения комбинации нескольких преобразований.

Развивающие цели:

• развивать умения наблюдать, сравнивать, анализировать, делать выводы;
• развивать творческую деятельность учащихся через вовлечение их в работу частично-поискового исследовательского характера.

Воспитательные цели:

• воспитывать навыки коммуникативности в работе;
• воспитывать у учащихся любознательность, инициативность, точность, самостоятельность, активность.

Формирование УУД

Предметные

Освоение знаний по теме: «Преобразование графиков тригонометрических функций»: знание учащимися элементарных преобразований графиков функций, умение использовать элементарные преобразования графиков функций при построении графиков тригонометрических функций.

Метапредметные

• регулятивные - работа по составленному плану, использование основных и дополнительных средств получения информации (учебник, средства ИКТ), прогнозирование;
• познавательные – умение передавать содержание в сжатом или развернутом виде;
• коммуникативные –умение организовать учебное взаимодействие в парах.

Личностные

Самоопределение, проявление интереса к решению познавательной задачи,  адекватная оценка результатов своей учебной деятельности.

Оборудование:

ПК, проектор, интерактивная доска, карточки для проведения частично-поисковой работы в парах, карточки для проведения индивидуальной дифференцированной работы, карточки для проведения самостоятельной работы.

Оформление доски: 

на доске (на крыльях) записаны преобразования графиков функций.

y = f(x) + п                                 y = f(x - т)

y = kf(x)                                y = f(kx)

y = | f(x)|                y = - f(x)

Структура урока

        1. Актуализация знаний:

• организационный момент;
• постановка проблемной задачи;
• формулирование темы  и цели урока.

        2.Формирование новых знаний и способов действий:

• самостоятельная, частично – поисковая деятельность учащихся с целью построения графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований;
• доказательство выдвинутой гипотезы по построению графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований в программе «Живая математика»;
• обобщающая беседа, подтверждающая выдвинутую гипотезу.

        3.Применение знаний, формирование умений и навыков:

• решение проблемной задачи;

• решение задач на распознавание графиков и советующих им формул тригонометрических функций;
• решение задачи на распознавание коэффициентов а и в  в формуле функции y = а sin x + в по изображенному графику. Обсуждение алгоритма построения графика тригонометрических функций, требующих выполнения комбинации нескольких преобразований;
• дифференцированная индивидуальная работа по построению графиков тригонометрических функций, требующих выполнения комбинации нескольких преобразований;  
• индивидуальное тестирование с целью самоконтроля и усвоения знаний;
• рефлексия;
• домашнее задание.

Ход урока

        1. Актуализация знаний

        Организационный момент        

        Создание положительного настроя на продуктивную работу.

        Постановка проблемной задачи

        Учитель предлагает учащимся выполнить фронтально устное задание следующего содержания:

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

а)          б) у =2 sin x             в)                   г) у =sin 2x

1.                                                               2.

3.        4.

Учащиеся могут выполнить задания а и в, так как знают, что является графиками данных функций. График функции б и г вызовут у учащихся затруднение. Они знают графики тригонометрических функций, однако преобразование графиков тригонометрических функций еще на рассматривались на уроках. Возникает проблемная ситуация между имеющимися знаниями и новыми требованиями.

Формулирование темы и цели урока

Этап актуализации знаний завершается формулировкой темы урока:

«Преобразование графиков тригонометрических функций».

Учитель вместе с учащимися формулирует цель урока: построение графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований.

Учащиеся записывают в тетради число, классная работа и тема урока.

2.Формирование новых знаний и способов действий

Самостоятельная, частично – поисковая деятельность учащихся с целью построения графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований.

На этом этапе урока осуществляется частично-поисковая деятельность учащихся. Эта работа проводится в парах постоянного состава. На каждой парте у учащихся находятся: карточки для выполнения практической работы; лист А4 с координатной плоскостью; памятка с преобразованиями графиков функций; ПК.

Практическая работа №1

1. Постройте график функции y = sin x. Запишите D(у) и Е(у).      
2. Вспомните преобразование графика функции  y = f(x) + п, где п > 0.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = sin x + 2. Запишите D(у) и Е(у).      
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = sin x + 4,5              
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков тригонометрических функций.

Практическая работа №2

1. Постройте график функции y = cos x. Запишите D(у) и Е(у).
2. Вспомните преобразование графика функции  y = (x) + п, где п < 0.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = cos x – 3. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = cos x – 2
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №3

1. Постройте график функции y = sin x          
2. Вспомните преобразование графика функции  y = kf(x), где k > 1 .
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = 2sin x. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = 3sin x. Запишите D(у) и Е(у).
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №4

1. Постройте график функции y = cos x
2. Вспомните преобразование графика функции  y = kf(x), где 0 < k < 1.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = ½ cos x. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = 1/3 cos x
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №5

1. Постройте график функции y = sin x. Запишите D(у) и Е(у).    
2. Вспомните преобразование графика функции  y = f(x - т), где т > 0.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = sin (x - π/3). Запишите D(у) и Е(у).    
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = sin (x - π/4)
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №6

1. Постройте график функции y = cos x. Запишите D(у) и Е(у).
2. Вспомните преобразование графика функции  y = f(x - т), где т < 0.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = cos (x + π/3). Запишите D(у) и Е(у).      
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = cos (x + π/6)      
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №7

1. Постройте график функции y = sin x          
2. Вспомните преобразование графика функции  y = f(kx), где k > 1 .
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = sin 2x. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y = sin 1,5x
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №8

1. Постройте график функции y = cos x. Запишите D(у) и Е(у).
2. Вспомните преобразование графика функции  y = f(kx), где 0 < k < 1.
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y =  cos ½ x. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика».
5. Постройте в программе «Живая математика» график функции y =  cos 1/3x
6. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Во время выполнения практической работы в парах двое учащихся индивидуально выполняют практическую работу на доске по карточкам следующего содержания:

Практическая работа №9

1. Постройте график функции y = tg x. Запишите D(у) и Е(у).
2. Вспомните преобразование графика функции  y = | f(x)|
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = | tg x |. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика» на интерактивной доске.
5. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Практическая работа №10

1. Постройте график функции y = sin x. Запишите D(у) и Е(у).        
2. Вспомните преобразование графика функции  y = - f(x).
3. В этой же координатной плоскости постройте график функции y = - sin x. Запишите D(у) и Е(у).
4. Проверьте построение графиков функций в программе «Живая математика» на интерактивной доске.
5. На основе полученных результатов сделайте вывод о соответствующем преобразовании графиков функций.

Обобщающая беседа

После выполнения практической работы учащиеся вывешивают построенные графики функций на доску, напротив соответствующего преобразования и  озвучивают выводы о преобразовании графиков тригонометрических функций с помощью элементарных преобразований. Учитель обращает внимание на D(у) и Е(у) построенных функций и вместе с учащимися определяет, какие преобразования влияют на область значения функции.

                3.Применение знаний, формирование умений и навыков

Решение проблемной задачи

Учитель предлагает учащимся вернуться к проблемной задаче в начале урока и решить её.

Решение задач на распознавание графиков и советующих им формул тригонометрических функций.

На этапе применения новых знаний и способов действий учащимся предлагаются фронтальная работа на распознавание.

№1. Какой из приведенных графиков соответствует данной функции

y = sin (x + π/3)

                                                            а)

         б)                                                                                 в)                                                            

№2. График какой из приведенных функций изображен на рисунке.

а) y = - cos x                      б) y = sin(х-π/2)               в) y = cos (х+π)                  

Решение задачи на распознавание коэффициентов а и в  в формуле функции y = а sin x + в по изображенному графику

№3.Подбетире коэффициенты а и в так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции y = а sin x + в.

После выполнения задания №3 (y = 2sin x + 1) учитель обращает внимание учащихся на то, сколько преобразований необходимо выполнить для построения данного графика, и в какой последовательности. Учитель предлагает учащимся сформулировать алгоритм построения графика тригонометрической функции, требующей выполнение комбинаций нескольких преобразований.

                                                                   1            2

        1.Расстаивть порядок действий:  y = 2sin x + 1.

        2.Выполнить последовательно построение графиков функций в соответствии с порядком действий, начиная с основной тригонометрической функции.

              y = sin x    растяжение от ОХ в 2 раза   y = 2 sin x     пар.перенос вверх на 1        y = 2 sin x + 1

Дифференцированная индивидуальная работа по построению графиков тригонометрических функций, требующих выполнения комбинации нескольких преобразований.

Учащимся предлагается выполнить трехуровневую индивидуальную работу на выбор учащихся и проверить построение графика функции с помощью программы «Живая математика». Учащимся по желанию, выбравшим второй и третий уровень, предлагается построить графики на доске.

I уровень

Построить график функции y = ½ sin x

y = sin x                          y = ½ sin x

II уровень

Построить график функции y = 2cos x – 1

y = cos x                   y = 2cos x                 y = 2cos x – 1

III уровень

Построить график функции y =  |2sin (x + π/3) |     

y = sin x              y =  sin (x + π/3)               y = 2sin (x + π/3)               y =  |2sin (x + π/3) 

Индивидуальное тестирование по вариантам с целью самоконтроля и усвоения знаний

Учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу (тестирование) по вариантам с последующей самопроверкой. Данная работа выполняется учащимися на карточках.

Вариант 1

Запишите последовательность построения графика функции в таблице

y = 2cos (х + π/4) – 2

Функции

1. y = 2cos (х + π/4) – 2
2. y = cos (х + π/4)
3. y = cos х
4. y = 2cos(х + π/4)

Графики

а)                                                                     б)

в)                                                                      г)

Вариант 2

Запишите последовательность построения графика функции в таблице

y = ½ sin (x - π/4) + 1

Функции

1. y = ½ sin (x - π/4)
2. y = sin x
3. y = ½ sin (x - π/4) + 1
4. y = sin (x - π/4)

Графики

а)                      б)  

в)                                                                              г)

                Рефлексия

                С целью рефлексии и подведения итога урока учащимся предлагается оценить свою работу на уроке с помощью самопроверки. Учитель предлагает учащимся ответы и критерии оценивания.

                Отметка «5» - задание выполнено верно, без ошибок.

                Отметка «4» - допущены 1-2 ошибки.

                Отметка «3» - допущены 3-4 ошибки.

                Домашнее задание:

а) №48(б,г); №50(а,в)

б) Подберите коэффициенты а и в в формуле функции y =  | а cos x + в | так, чтобы Е(у) =. Постойте график данной функции.