План-конспект по теме «Критерии вписанных четырехугольников. Задачи на доказательство, что около четырехугольника можно описать окружность.»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) на тему

План-конспект по теме «Критерии вписанных четырехугольников. Задачи на доказательство, что около четырехугольника можно описать окружность.»

 Вид урока: Объяснение нового материала.

 Тип урока: Беседа, практикум.

 Цель: Создание условий для успешного усвоения понятия вписанного четырёхугольника, его критериев и овладения умениями применять их на практике.

Задачи:

1. Ввести понятия вписанного четырехугольника, изучить критерии вписанного четырехугольника (прямая и обратная теоремы).
2. Дать опыт практического применения рассмотренных критериев при решении задач.
3. Развивать самостоятельность, активность, логическое мышление, навыки построения и вычисления.

Ход занятия

1. Организационный момент. Изменения в ЕГЭ 2015 года по математике, относящиеся к задаче С4 (сейчас это задание 16), уже не актуальны. Вместо многовариантных задач, которые предлагались ранее, теперь предлагаются задачи на доказательство и вычисление, т.е. решение состоит из двух частей.

В рамках нашего занятия нас интересуют задачи, связанные с вписанным четырехугольником. В первой части решения такого рода задач необходимо проанализировать предложенную конфигурацию и доказать, что четыре точки лежат на окружности или что около четырехугольника можно описать окружность; во второй – используя свойства вписанного четырехугольника вычислить какую-либо величину, зная, что четырехугольник вписанный. Заметим, что для доказательства первого пункта необходимо использовать признаки вписанного четырехугольника, а при вычислениях во втором пункте – его свойства. Признаки характеризуют достаточное условие описания окружности около четырехугольника, свойства – необходимое. Теорема, характеризующая необходимое и достаточное условия, называется критерием. Напомним предварительно некоторые важные для дальнейшего изложения теоремы, известные из школьного курса геометрии.

2. Основные теоремы геометрии окружности.

 Теорема 1 (об измерении углов, связанных с окружностью). 

а) вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается;

б) угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Теорема 2. Если треугольники АВС и АОС лежат по одну сторону от прямой АС и точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, то ∠AOC = 2∠ABC (рисунок 1).

Рисунок 1

Теорема 3. Если треугольники АВС и АОС лежат по одну сторону от прямой АС, OA =OC и ∠AOC = 2∠ABC , то точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС (рисунок 1).

Следствие из теоремы 1. Вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рисунок 2).

Рисунок 2

В случае, когда вписанные углы равны по 90˚, то используют характеристическое свойство окружности: отрезок АВ виден из вершин углов под прямым углом тогда и только тогда, когда эти вершины лежит на окружности с диаметром АВ и отличны от точек А и В.

Теорема 4. В любой треугольник можно вписать окружность.

Теорема 5. Около любого треугольника можно описать окружность.

Теорема 6. Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP∙BP=CP∙DP (рисунок 3).

Рисунок 3

Теорема 7. Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны (рисунок 4).

Рисунок 4

Теорема 8. Из точки А, взятой вне окружности, проведены к ней касательная АВ и две секущие, пересекающие окружность в точках С и D, M и N соответственно (рисунок 5). Тогда AB2 = AC ∙AD.

Рисунок 5

Напомним, что четырехугольник вписан в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Заметим, что если около четырехугольника можно описать окружность, то центр её равноудален от вершин, то есть принадлежит серединным перпендикулярaм к сторонам четырехугольника, а так же серединным перпендикулярaм и к диагоналям.

И так, рассмотрим критерии.

Критерий 1: для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD был вписанным необходимо и достаточно выполнения условия ∠ABD = ∠ACD ( рисунок 6).

Рисунок 6

Если мы будем рассматривать прямую теорему, то получим свойство 1: Если четырехугольник ABCD вписанный, то ∠ ABD =∠ ACD; а если обратную – то признак 1: Если ∠ ABD =∠ ACD, то четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Критерий 2: для того чтобы выпуклый четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно чтобы сумма двух противоположных углов четырехугольника была равна 180° (рисунок 7).

Рисунок 7

Следствие: Если ∠АМВ = ∠АКВ = 90°, то точки А, В, М и К расположены на окружности с диаметром АВ.

Критерий 3: для того, чтобы точки A, B, C, D принадлежали окружности, необходимо и достаточно, чтобы AC пересекала BD в точке P и AP∙PC= DP∙PB (рисунок 8).

Рисунок 8

В дополнение к основным признакам вписанного четырехугольника можно рассмотреть еще два «именных» - теорему Симсона и теорему Птолемея.

Критерий 4: Для того чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы проекции одной из них на три прямые, определяемые тремя остальными точками, лежали на одной прямой.

Критерий 5: Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений его противоположных сторон равнялась произведению диагоналей. АВ⋅CD+BC ⋅ AD=CA⋅ BD .

3. Практическая работа.

Задача 1. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. ∠ABC = 111˚, ∠OBC = 49˚, ∠ACD = 62˚.

Доказать, что точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.

Решение: ∠ABO = 111 ˚ - 49˚= 62 ˚. Таким образом, B и C лежат по одну сторону от AD и углы ABO и ACD равны, значит точки A, B, C, D лежат на одной окружности (рисунок 9).

Рисунок 9

Задача 2. Биссектрисы углов выпуклого четырехугольника ABCD образуют выпуклый четырехугольник KLMN. Доказать, что около четырехугольника KLMN можно описать окружность.

Решение: В четырехугольнике ABCD имеем ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360˚. В четырехугольнике KLMN: ∠L = 180˚ - 0,5(∠B + ∠C), ∠N = 180˚ - 0,5(∠A + ∠D) ∠L + ∠N = 180˚ Значит, по признаку 2 около четырехугольника KLMN можно описать окружность (рисунок 10).

Рисунок 10

4. Рефлексия и домашнее задание (5 минут). Ребята рассказывают о том, что нового узнали и получают задачу для самостоятельного разбора.

Задача 3 . Две окружности имеют общую хорду CD. Через точку M этой хорды проведены хорды AB и EF, принадлежащие различным окружностям и не лежащие на одной прямой. Доказать, что концы этих двух хорд лежат на одной окружности.

                                               Рисунок 11