"Степень и её свойства" , 7 класс
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Тип урока: обобщение и систематизация полученных ранее знаний по теме “Степень и ее свойства”.

Форма урока: урок-презентация.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме “Степень и ее свойства”.

Задачи:

Организовать работу учащихся в подготовке мини-проектов по темам “Историческая справка”, “Основное свойство степени”.

Проследить связь данной темы с нахождением площадей прямоугольника и объемом куба.

Закрепить знания учащихся по теме.

Развивать познавательный интерес у учащихся.

Развивать творческие способности учащихся.

Развивать навыки работы на компьютере.

ХОД УРОКА

1. Легенда Древней Индии.
2. Тема урока.
3. Цель урока.
4. Мини-проект “Историческая справка”.
5. Мини-проект “Основное свойство степени”.
6. Применение свойств степени с натуральным показателем.
7. Тест компьютерный по теме “Степень и ее свойства”.
8. Рефлексия.

     Ход урока

1. Этап 1 (Организационный момент):

 Учитель: Добрый день, ребята. Добрый день, уважаемые коллеги. Сегодня у нас необычный урок, к нам пришли гости. Гостям мы всегда рады. Каждому  из вас, ребята, сегодня   предоставляется прекрасная возможность проявить себя, показать свои знания. Возможно, во время урока вы раскроете в себе скрытые способности, которые вам пригодятся в дальнейшем.

Учитель:Мы с вами продолжаем изучать тему “Степень с натуральным показателем”.

Наша задача повторить правила, изученные на прошлых уроках, и проверить умение решать задачи по данной теме.

На предыдущих уроках вы уже открыли для себя удивительный мир степеней. Многие ученые во все времена занимались вопросами их изучения. Но я хочу обратить ваше внимание на слова Михаила  Васильевича Ломоносова, которые будут эпиграфом нашего урока.

               «Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики

               степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

                                                                 М.В. Ломоносов

Сегодня на уроке мы убедимся в том, что Ломоносов был прав, что степени очень важны в математике.

А начнём мы наш урок с  древнеиндийской легенды, которую нам расскажет Коновалова Ангелина.

Коновалова Ангелина:

• В Древней Индии была такая легенда. Стоит камень размером в кубический километр, в миллион раз тверже алмаза. Один раз в миллион лет к нему прилетает птичка и трется клювом о камень. В конце концов в результате этого камень износится. Как вы думаете, сколько лет понадобится для того, чтобы камень износился до основания? Вычисления математиков показывают, что для этого понадобится 10\35 лет.
• Почему именно эта запись здесь применена? (В записи числа будет 35 нулей и словесно это число иначе произнести нельзя).
• Что собой представляет данное число? (Степень, основание – 10, показатель - 35).
• Таким образом, показатель степени помогает нам упростить запись произведения одинаковых множителей.

Учитель:Как вы думаете, о чем мы будем сегодня говорить на уроке? (О степенях).

Этап 2(Тема урока).

Учитель: Хорошо. А теперь давайте вместе сформулируем тему нашего урока. Чтобы определить ключевые слова темы вы должны будете решить примеры, записанные на доске.

2³ =

(-5)² =

О,8²=

8²+ 3³=

7²- 2³=

 Учитель: Итак, ребята, откройте свои тетради и запишите число30.11.12 и тему нашего урока: «Свойства степеней с натуральным показателем». Но урок наш сегодня пройдет в необычной форме: это будет урок-презентация, в ходе которого мы систематизируем и обобщим весь материал по теме “Степень и ее свойства”, и, конечно же, как и на всяком другом уроке, вы узнаете много нового и интересного.

Этап 3.(Решение примеров у доски и сам-но в тетрадях).

Учитель:  В своих тетрадях вы уже записали тему урока, теперь вам необходимо решить примеры, записанные у меня на доске. Те ребята, которые будут работать у доски, должны будут вначале решения примера рассказать правило, по которому они будут решать данный пример.

Прохорова Алина. Определение: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают

c7 • с4 = с7+4 = с11

Учитель: Теперь два задания  вы решите в тетрадях сам-но.. После мы проверим решение и ответы.

1. b • b2 • b3 = b1+2+3 = b6
2. (- 7)3 • (- 7)6 • (-7)9 = (- 7)3+6+9 = (- 7)18

Учитель: Спасибо

При делении степеней с одинаковыми основаниями основания остаются теми же, а показатели вычитаются.

1. x8 : x 4 = x8-4 = x4

         Самостоятельное решение.

2.  a10 : a9 = a10-9 = a
3. (0,2)14 : (0,2)8 = (0,2)14-8 = (0,2)6

При возведении степени в степень основание остается тем же, показатели перемножаются..

1. (х2)3 = х2•3 = х6

         Самостоятельное решение.

2. (с8)3 = с8•3 = с24
3. (b4)5 = b4•5 = b20

При возведении в степень произведения, возводятся в эту степень каждый из множителей.

1.  (abc)9 = a9b9c9
2. Представьте произведение в виде степени 25а2b2 =(5ab)2.

         Самостоятельное решение.

3. (2xy)2 = 4x2y2
4. Представьте произведение в виде степени 36а2b2 =(6ab)2.

При возведении в степень частного, возводятся в эту степень и числитель, и знаменатель.

Представьте частное в виде степени .

Самостоятельное решение.

Представьте частное в виде степени .

Этап 4.(Устная работа по карточкам).

Учитель:  А сейчас   мы, ребята, с вами немного поработаем устно. Для этого мы выполним несколько заданий  с помощью сигнальных карточек «+» и  «-«.

•  Степень положительного числа  есть число …+
• Степень отрицательного числа с  нечётным показателем  есть число …-
• Степень отрицательного числа с  чётным показателем  есть число …+
• Вам нужно, не считая  пример, определить знак выражения:

Этап 5 (Работа на интерактивной доске).

Учитель: Как говорил известный венгерский математик Дьёрдь Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». Так и мы с вами, ребята, последуем его совету и продолжим ставить  перед собой задачи и решать их.

№1.Ученик, выполняя преобразования выражений, допустил ошибки. Исправьте ошибки и

 объясните, какие определения, свойства, и правила не знает ученик.

1. 5 • 5 • 5 • 5 = 4 5;                  6)    2 3 • 2 7 = 4 10;
2. 71 = 1;                                    7)   2 30 : 2 10 = 2 3;
3. 4 0 = 4;                                   8)  (2х) 3 = 2х 3;
4. 2 3 • 2 7  = 2 21;                        9)  (а 3) 2 = а 5.

№2. Вставьте пропущенное выражение:

1. a 17 •   = a 17;              
2. х5 •   = х17;                  
3. 7 12 •  = 7 19;              
4.   : k 4 = k 11;                  
5. 5 12 • 5 3 = 5 19;                    
6. b 2 •  • b 8 = b 24;                
7. n 15:  = n 5;                                    

Этап 6 (.Тестирование по вариантам). Следующий тест проверит ваше умение применять  Свойства степеней с натуральным показателем  при решении примеров. Ваша цель – выбрать правильный ответ и записать нужную букву.

Время, отводимое на тестирование 5-7 минут. После того, как вы выполните тест, вы поменяетесь с соседом листочками и проверите его работу. После чего вы должны будете проставить ему оценку в зачётный лист.

Этап 6 (Домашнее задание).

Учитель: Проверьте друг у друга работу  и поставьте оценку своим товарищам в зачетный лист. Итак, мы открываем свои дневники, проставляем свои оценки и записываем домашнее задание:

1. Выполнить работу в тетради по карточкам,  
2. №  418, 420 по учебнику.

Проведите на уроке рефлексию содержания учебного материала. Этот способ позволяет учителю понять, насколько усвоен учебный материал.

Предложите фразы, которые ребенок должен закончить. Например:

 я познакомился с ...

 было непросто ...

 я добился ...

 у меня получилось ...

 хотелось бы ...

 мне запомнилось ...

 я попробую ...

РЕЗЕРВ   №1 «ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА».

Учитель:Не зная прошлого науки, трудно понять ее настоящее.  Поэтому мы сейчас просмотрим небольшой фильм.

Невозможно представить современную жизнь без науки. Испокон веков люди познавали окружающий мир, совершали открытия. Многие из них облегчили жизнь человека, усовершенствовали её. Пожалуй, самая важная наука – математика. Она проникла почти во все отрасли знаний и даже является языком, на котором говорят другие науки. Мы знаем, что такое числовое выражение, что такое уравнение, какая фигура называется треугольником, какая квадратом. Знаем, как пользоваться этими понятиями. Но как мало мы знаем о том, каковы истоки науки всех наук.

Выдающийся российский математик, академик Андрей Николаевич Колмогоров решил много сложнейших задач, совершил не одно открытие в различных разделах современной математики. Радость своих первых математических открытий он познал рано. Андрей Николаевич рассказывал, что ещё до поступления в гимназию в возрасте 5-6 лет он любил придумывать задачи, подмечал интересные свойства чисел. Эти открытия публиковались в домашнем журнале. Вот одно из открытий 6-го Колмагорова. Он заметил, что

1=1

2=1+3

3=1+3+5

4=1+3+5+7

Произведение одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью, например,

5×5×5×5×5×5×5×5=5

Понятие  о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции. Выражение квадрата числа возникло при вычислении площади квадрата, куб числа – при нахождении объёма куба. Но современные обозначения, типа а, в  18 веке ввёл Декарт.

Кстати, вычислить значение степени проще с помощью калькулятора. А знаете ли вы, что слово калькуляция пришло к нам от римлян и означает оно счёт камушками. Ведь именно камушками пользовались древние ремесленники и торговцы при счёте. А первое советское ЭВМ было построено под руководством советского академика Сергея Алексеевича Лебедева в 1950 году. Калькулятор является простейшим ЭВМ.          

Вопросы по ИСТОРИЧЕСКОЙ СПРАВКЕ:

№2 «Третьяковская галерея».

  В  Третьяковской галерее храниться картина русского художника «Устный счёт» Богданова-Бельского на которой он изобразил учеников сельской школы. Занятых устным счётом

102+112+122+132+142            

                        365             Решите и вы этот пример устно.

Картина “Устный счет” была написана 1895 году, то есть 110 лет назад. Что изображено на картине?

Вы уже, верно, поняли, что здесь изображены учащиеся и учитель. Конечно, костюмы учащихся необычные: некоторые ребята в лаптях, а у одного из героев картины (того, который изображен на переднем плане), кроме того, и рубаха порвана. Ясно, что эта картина не из нашей школьной жизни. Вот и надпись на картине 1895 год – время старой дореволюционной школы.

А какую же задачу дал им учитель? Не сможем ли решить ее и мы?

 А вот попробуйте.

На доске я запишу так, как привыкли писать вы:

(10·10+11·11+12·12+13·13+14·14):365

 Вот так задача (такой пример не скоро решишь, да еще в уме). А все-таки попробуйте сосчитать устно, в трудных местах я буду помогать вам. Десятью десять – 100, это каждый знает. Одиннадцать умножить на одиннадцать – это тоже нетрудно сосчитать: 11·10=110, да еще 11 – всего 121. 12·12 – это тоже не хитро сосчитать: 12·10=120, да еще 12·2=24, а всего будет 144. Так же я сосчитал, что 13·13=169 и 14·14=196.

Но пока я умножал, то почти забыл, какие числа у меня получились. Потом я вспомнил их, а ведь эти числа надо еще сложить, да потом сумму разделить на 365. Нет, это уже сами вы не сможете вычислить.

Какие же числа у вас получились?

 100, 121, 144, 169 и 196 – это сосчитали многие.

Теперь вы, наверное, хотите сложить сразу все пять чисел, а потом уже делить результаты на 365?

 Мы это сделаем по-другому.

Ну-ка, сложим первые три числа: 100, 121, 144. Сколько получится?

365.

А делить на сколько надо?

Тоже на 365!

Сколько же получится, если сумму первых трех чисел разделить на 365?

Один! – это уже каждый сообразит.

Теперь сложите остальные два числа: 169 и 196. Сколько получится?

 Тоже 365!

 Вот так пример, и совсем нехитрый. Получается-то всего лишь два!

 Только для его решения надо хорошо знать, что сумму можно делить не сразу всю, а по частям каждое слагаемое в отдельности, или же по группам в два-три слагаемых, а потом уж сложить получившиеся результаты.

  Эта картина называется “Устный счет”. Написал ее художник Николай Петрович Богданов-Бельский, который жил с 1868 по 1945 год.

Богданов-Бельский очень хорошо знал своих маленьких героев: вырос в их среде, был когда-то пастушком. “…Я незаконнорожденный сын бедной бобылки, оттого Богданов, а Бельский стал по имени уезда”, - рассказывал художник о себе.

   Ему посчастливилось попасть в школу известного русского педагога профессора С.А. Рачинского, который заметил художественный талант мальчика и помог ему получить художественное образование.

     Н.П. Богданов-Бельский окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества, учился у таких известных художников, как В.Д. Поленов, В.Е. Маковский.

     Немало портретов и пейзажей написано Богдановым-Бельским, но в памяти людей он остался, прежде всего, как художник, сумевший поэтично и верно рассказать о смышленой сельской детворе, жадно тянувшейся к знаниям.

   Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. С 1833 по 1902 год жил известный русский педагог Сергей Александрович Рачинский, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 году С.А. Рачинский решается идти в народ. “Он держит экзамен” на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татьево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Так вот, его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Как видите, художник изобразил С.А. Рачинского вместе с его учениками на уроке устного решения задач. Между прочим, сам художник Н.П. Богданов-Бельский был учеником С.А. Рачинского.

№3 «Отгадать фамилию»

Вычислить значение выражения:Запишите ответ в виде степени с основанием  С  и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, которому принадлежит высказывание: «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять».Он первым ввел понятие степени числа. Угадай фамилию ученого математика. Ответ: РЕНЕ ДЕКАРТ

№4 «Большой театр».

Найдите верные неравенства. Из соответствующих им букв получите фамилию архитектора, по проекту которого в 1825 г. было построено здание Большого театра в Москве:

Осип Бове

Большой театр 18 января исполнилось 180 лет со дня одного из рождений Большого Театра. А точнее 180 лет со дня открытия Большого Петровского Театра, созданного по проекту архитектора Осипа Бове. Здание Осипа Бове до нас, к сожалению, не дожило (как и многие другие здания Театра), но в истории Большого Театра эта дата несомненно является важной. Трудно найти другое театральное здание, кроме Большого, которое так преследовали бы всякие напасти. Вспомним историю зданий Большого театра. ..Когда в 1776 году московский губернский прокурор князь П. Урусов получил от Екатерины II десятилетнюю привилегию на содержание в Москве русского театра, по условиям этой привилегии он должен был за пять лет построить каменный театр с таким внешним убранством, чтобы он городу мог служить украшением. В компаньоны П. Урусов пригласил англичанина Михаила Медокса - не только страстного любителя театра, но и человека предприимчивого. Вместе они приобрели земли на правом берегу Неглинки, на Петровской улице, где и должно было строиться новое театральное здание. Вечером 26 февраля 1780 года, во время представления пьесы А. Сумарокова Дмитрий Самозванец, от неосторожности нижних служителей Знаменский театр загорелся, и в течение нескольких часов огонь уничтожил его полностью. Князь Урусов был разорен, отказался от полученной привилегии и уступил ее Медоксу. 30 декабря 1780 года принял первых зрителей новый театр. Каменное трехэтажное с тесовой крышей здание так называемого Театра Медокса было возведено в потрясающие даже для нашего времени сроки - за пять месяцев (вместо пяти лет, обусловленных привилегией). Строил театр архитектор Христиан Иванович Розберг, который в московской полицейской конторе занимался проектированием и строительством зданий. Новый театр из-за своего местоположения стал называться Петровским. С той поры местом постоянной прописки Большого театра стал угол Петровки.

-Что произошло с понятием степени в XVII веке, мы с вами можем предсказать сами. Для этого попробуйте ответить на вопрос: можно ли число возвести в отрицательную степень или дробную? (Дают свои версии). Но это предмет нашего будущего изучения.