Сочетания и размещения
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема урока № 7 : «Комбинаторика. Сочетания»

Предмет: алгебра и начала анализа.

Класс: 11.

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: рассмотреть основные понятия теории комбинаторики - сочетания.

Задачи урока:

• образовательные: научить воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений - сочетания, уметь применять теоретические знания при решении задач;
• воспитательные: воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда;
• развивающие: развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Используемые технологии: развивающее обучение,  ИКТ, элементы исследовательской деятельности

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, видеоурок «Сочетания» сайт https://videouroki.net/blog/sochetaniya.html , экран, карточки с заданиями.

План урока:

1) Организационный момент.

2) Устный счет.

3) Изучение нового материала – просмотр видеоурока.

4) Решение задач по теме «Сочетания».

5) Итоги урока.

6) Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока

2. Устный счет (ПК) – 6 класс – действия с десятичными дробями

3. Изучение нового материала

Просмотр видеоурока «Сочетания» источник сайт Видеоуроки.ru

План видеоурока:

1. Примеры размещений и сочетаний. Задача: «Составить букеты из 5 различных цветов по 3 цветка. Сколько таких букетов можно составить?»
2. Формула вычисления сочетаний   
3. Примеры вычисления сочетаний по формуле
4. Задача 1: «Турист запланировал взять с собой в поездку 8 футболок, при этом всего у него их насчитывается 12. Сколькими способами он может сделать выбор?»
5. Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»
6. Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

4. Решение задач в группах.

1. А теперь перейдем к работе в группах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной совместной работе. Листочки с заданиями на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой группе).

Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»

Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

Дополнительные задачи:

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение:

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Ответ: 360.

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение:

В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим:

Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Решение: 

Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно 

Ответ: 35 способов.

Озвучивание решений групп, затем просмотр их решений в видеоуроке.

5. Итоги урока

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.  При выходе из кабинета каждый ученик выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

6. Домашнее задание РГР-1 «Комбинаторика»

Литература

Задача В10. Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2018.

интернет – источники:

https://www.youtube.com/watch?v=zu73D0v74i4 видеоуроки.net

http://festival.1september.ru/articles/595703/;

http://www.testsoch.com/urok-sochetaniya-i-razmeshheniya/.

https://math-ege.sdamgia.ru/

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»

Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

Дополнительные задачи:

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Задача №6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»

Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

Дополнительные задачи:

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Задача №6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»

Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

Дополнительные задачи:

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Задача №6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Задача 2: «В чемпионате принимали участие 8 команд. Каждая команда сыграла с каждой только один раз. Сколько всего было игр?»

Задача 3. «Сколькими способами для участия в конкурсе можно выбрать 2 мальчиков и 4 девочек, если в классе 11 мальчиков и 13 девочек?»

Дополнительные задачи:

Задача № 4. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Задача № 5. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Задача №6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Самостоятельная работа

1 вариант.

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

2.  В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

3.  Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

4.  Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

5.  Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

6.  На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

2 вариант

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

2.  Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

3.  За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

4.  Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

5.  В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

6.  Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы и решения:

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Самостоятельная работа

1 вариант.

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

2.  В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

3.  Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

4.  Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

5.  Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

6.  На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

2 вариант

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

2.  Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

3.  За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

4.  Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

5.  В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

6.  Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Урок  7

«Комбинаторика. Сочетания»

Самостоятельная работа

1 вариант.

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

2.  В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

3.  Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

4.  Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

5.  Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

6.  На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

2 вариант

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

2.  Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

3.  За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

4.  Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

5.  В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

6.  Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение: 

Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Ответ: 120 способов. 

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение:

Число всех перестановок из трех элементов равно Р3=3!, где 3!=1 · 2 · 3=6. Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Ответ: 6 чисел.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение:

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Ответ: 360.

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение:

В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132 и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти элементов по три. По формуле числа размещений находим:

Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №5. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

Решение: 

Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно 

Ответ: 35 способов.

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение:

А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: 

Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение: 

На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: 

Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: 

Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С72) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С93) и с каждым вариантом выбора третьей (С81) по правилу умножения получаем:

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение: 

Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым – девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4⋅3⋅2⋅1=120 способов занять очередь.

Ответ: 120 способов.

Отчет групп о проделанной работе.

4. Итоги урока

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.  При выходе из кабинета каждый ученик выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

5. Домашнее задание

1 вариант.

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

2.  В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

3.  Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

4.  Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

5.  Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

6.  На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

2 вариант

Решить задачи:

1.  Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

2.  Пять человек пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий?

3.  За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

4.  Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

5.  В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

6.  Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Ответы и решения:

I вариант

II вариант

1.  

2.  

3.  Pn=4!=24

4.  Pn=5!=120

5.  Pn=5!=120

6.  

1.  Pn=5!=120

2.  

3.  положительные оценки: 4, 5.

22=4

4.  Рn=3!=6

5.  Pn=5!=120

6.  

Сочетания и некоторые свойства сочетаний

Сочетания из n по m m-элементные подмножества n-элементного множества.

Пример: Решим следующую задачу. Пусть в коробке находится пять пронумерованных шаров {1, 2, 3, 4, 5}. Перечислите все способы выбора двух шаров из этих пяти.

Каждому способу выбора двух шаров из пяти соответствует некоторое двухэлементное подмножество пятиэлементного множества. Перечислим эти подмножества:

Обратите внимание, что подмножества (2,1) и (1,2) содержат один и тот же набор элементов и поэтому отождествляются. Итак, у пятиэлементного множества 10 двухэлементных подмножеств.

Рассмотрим все подмножества, состоящего из трех элементов {a, b, c}.

Их восемь:

1. Ø – пустое множество, как принадлежащее любому множеству;
2. {a}, {b}, {c} – одноэлементные 3 множества;
3. {a, b}, {a, c}, {b, c} – двухэлементные 3 множества;
4. {a, b, c} – одно множество из трех элементов, то есть полное рассматриваемое множество.

В сумме получили 8 различных подмножеств.

Число подмножеств, m элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов, обозначается Cnm (читается "це из эн по эм") Буква C выбрана для обозначения числа сочетаний в связи тем, что по-французски слово "сочетание" - "combinaison" - начинается с этой буквы.

C52 = 10

В комбинаторике конечные множества называются сочетаниями.

В сочетаниях нас интересует только сами элементы множества и не интересует их порядок.

Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое соединение.

Число сочетаний, перестановок и размещений связаны по формуле:

Действительно, чтобы получить все размещения из n элементов по m надо:
1) взять n-элементное множество;
2) выделить m-элементное подмножество. Это можно сделать Cnm - способами. Всего получим Cnm упорядоченных множеств, так как в каждом m – элементном подмножестве возможно установить Рm порядков, где Рm – число перестановок из m элементов.

Подставив сюда уже известные нам выражения
и Рm = m!, m ≤ n и Cn0 = 1, получим

Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями – каждый элемент, входящий в соединение, может быть представлен более чем одним элементом:

В дальнейшем сочетание без повторений мы будем называть одним словом – «сочетание».

Задача: В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать?

Замечание

При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях. Если порядок учитывается, то есть составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, то есть составляются множества, то это – сочетания.

IV этап: Закрепление и проверка усвоения материала

Цель: Закрепить в памяти учащихся те знания и умения, которые необходимы им для самостоятельной работы по новому материалу. Добиться в ходе закрепления повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания.

Ю.М. Колягин Алгебра и начала анализа стр. 135 №329; стр. 137 №337.

Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся

Самостоятельная работа по вариантам

V Домашняя работа

Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения, мотивировать необходимость выполнения работы.
По карточкам.