Решение уравнений в целых числах
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Решение уравнений в целых числах. Уланова Т.Н. Учитель математики «Лицей №21» Г.Дзержинск Нижегородской области.

Слайд 2

Линейное уравнение ax+by =c - Если НОД( a,b )=1, то уравнение имеет хотя бы одно решение: где ( x 0 ,y 0 ) - некоторое частное целочисленное решение для t ∊Z - Если НОД( a,b ) ≠ 1 , то уравнение не имеет целочисленных решений.

Слайд 3

Пример1 : Решить в целых числах уравнение: 7x+9y=32 НОД(7 ; 9)=1, целочисленное решение (2;2), значит x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z . Ответ: x=2+9t, y=2-7t, t ∊Z . Пример2 : Решить в целых числах уравнение: 3 x-4y=1 НОД( 3 ; 4 )=1, целочисленное решение ( 3 ;2), значит x=3-4t, y=2-3t, t ∊Z . Ответ: x=3-4t, y=2-3t, t ∊Z .

Слайд 4

Замечание 1. Если ( x 0, y 0 )- целочисленное решение уравнения ax+by =1, то ( cx 0 ,cy 0 ) - целочисленное решение уравнения ax+by =c. Пример 3 : Решить в целых числах уравнение: 3x-5y=11 Найдём целочисленное решение уравнения 3x-5y=1 НОД(3 ; 5)=1, целочисленное решение (2;1), значит частным решением уравнения 3x-5y=11 является пара (22;11), т.е. x=2 2-5 t, y= 11 - 3 t, t ∊Z Ответ: x=2 2-5 t, y= 11 - 3 t, t ∊Z

Слайд 5

Замечание 2. Если трудно подобрать частное решение, то можно применить алгоритм Евклида. Пример 4 : Решить в целых числах уравнение: -23 x +79 y=1 НОД(23 ; 79)=1, значит существует целочисленное решение. 79=23 ⋅ 3+10 23=10 ⋅ 2+3 10=3 ⋅ 3 + 1 1=10-3 ⋅ 3=10-3 ⋅( 23- 10 ⋅ 2)=-3 ⋅ 23+ 10 ⋅ 7=-3 ⋅ 23+ 7 ⋅( 79- 23 ⋅ 3)= =7 ⋅ 79- 24 ⋅ 23 -23 ⋅ 24 + 79 ⋅ 7 =1 , значит частным решением данного уравнения является пара чисел (24;7), т.е. решение x=2 4+79 t, y= 7+23 t, t ∊Z . Ответ: x=2 4+79 t, y= 7+23 t , t ∊Z .

Слайд 6

Метод разложения на множители. Пример 5 : Решить в целых числах уравнение: x+xy-3y=5 x-3+y(x-3)=5-3 (x-3)(y+1)=2 => => => Ответ:(1;-2),(2;-3),(4;1),(5;0). = >

Слайд 7

Пример 6 : Решить в целых числах уравнение: + 91 = - = 91 = 91 ,91=7 ⋅ 13=1 ⋅ 91 >0 => Ответ: (5;6),(-6;-5),(-3;4),(-4;3).

Слайд 8

Соображения делимости. Пример 7 : Решить в целых числах уравнение: Рассмотрим остатки от деления на 4 чисел вида . 1) Если х и у чётные, то делится на 4. 2) Если одно из чисел чётное, а второе - нечётное, то остаток от деления на 4 выражения равен 1, т.к. 3) Если оба числа нечётные, то остаток от деления На 4 равен 2.

Слайд 9

Рассмотрим правую часть данного уравнения 4z-1=4z-4+3=4(z-1)+3 , т.е. при делении на 4 правая часть имеет остаток 3. Т. к. левая часть и правая часть имеют разные остатки , то Ни при каких х , у , z уравнение решений не имеет. Ответ: решений нет. - Этот метод часто используется для доказательства того, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Слайд 10

Пример 8 : Решить в целых числах уравнение: +3=7у Остаток от деления на7 Т.к. 7у = делится на 7, то х=7 k+2 или х=7 k+ 5, где k ∊Z . При х=7 k+2 7у= у= При х=7 k+ 5 7у= у= Ответ: , , . 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 2 2 4 1 3 4 0 5 5 0 4

Слайд 11

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных. Пример 9 : Решить в целых числах уравнение: х+у =ху у=ху-х , у=х (у-1) Рассмотрим 2 случая: Если у=1, то уравнение не имеет решений, т. к. х (1-1)=0 1 ≠ 0. Если у ≠ 1, то , , Последнее равенство имеет целые решения, если у-1= 1 т.е. у=0, у=2. Ответ: (0;0), (2;2).

Слайд 12

Пример 10 : Решить в целых числах уравнение: 3ху+14х+17у+71=0 т.к х ∊ Z Т.к.(3у+14) ∊ Z , то (3х+17) ⋮ 25. Следовательно, (3х+17) : ±1, ±5, ±25. Поэтому х=-4, х=-6 , х=-14 .Соответственно у=-3, у=-13. у=-5. Ответ: (-4;-3), (-6;-13), (-14;-5).

Слайд 13

Другие примеры. Пример 11 : Решить в натуральных числах уравнение: х!+у!= z! Заметим, что z 2, ⟹ х z , у z ⟹ х z-1 , у z-1 ⟹ х!+у ! 2( z -1)! ⟹ z ! 2( z -1)! ⟹ z ( z -1)! 2( z -1)! ⟹ z 2 . Итак z =2, тогда х!+у ! =2, т.е. х=у=1. Ответ: х=1, у=1, z =2.

Слайд 14

Пример 1 2 : Решить в натуральных числах уравнение: и по условию Проверка Ответ: