Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

ГБОУ СОШ с Новодевичье м.р. Шигонский Самарская область

 Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности

по теме «Решение уравнений в целых числах»

Выполнила:

Копытина Елена Алексеевна,

учитель физики  и математики ГБОУ СОШ с. Новодевичье

2015 г.

Пояснительная записка.

В математике следует помнить не формулы,    а процессы мышления.      

В.П.Ермаков

Решение  в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

   Решение уравнений в целых  числах является важной задачей и для современной математики.   Теоретический  интерес  уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах»                                                                                                                                     Ещё  в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением  квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена  встречаемся  с заданиями, в которых предлагали уравнения  с двумя переменными. Появилось желание  узнать решаемы ли такие уравнения,  и какие способы используются  для  их  решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. Отсюда определена

Гипотеза исследования - общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные  диофантовы уравнения, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

Актуальность исследования:

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются,  эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, имеются в заданиях группы С6 в ЕГЭ и  математических олимпиадах. Учащимся эта тема  интересна тем, что имеется практическая направленность области этой темы, позволяет успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.    

Предметная областью  этого исследования является математика.

 Объект работы-  диофантовы уравнения,типы и способы их решения.

 Цель работы:

1. Повышение уровня математической культуры;
2. Развитие  навыков исследовательской деятельности в области математики;
3. Формирование умений и навыков решать диофантовы уравнения эффективными методами;
4. Применение этих методов решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;
5. Умение классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

Задачи:

1. изучить исторические корни;
2. научиться пользоваться научной литературой, быстро и грамотно находить информацию в интернете;
3. разобрать основные приёмы и  методы решения уравнений в целых числах, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;
4. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет,
5.  научиться решать уравнения в целых числах, применив изученные ранее методы;
6. Составить презентацию «Методы решения уравнений в целых числах» и  сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

Этапы работы:

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;
2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;
3. Попытка их классификации;
4. Поиск практической значимости данной темы.

План работы:

Деятельность педагога и учащихся на каждом этапе исследовательской работы можно представить в виде таблицы:

Данная учебно-исследовательская работа раскрывает творческий потенциал учащихся, способствует формированию их исследовательских умений, повышает учебную мотивацию, создает условия каждому участнику для саморазвития и самореализации через сознательное и активное присвоение нового социального опыта. Таким образом,  учебно-исследовательская деятельность учащихся  работает на реализацию современных целей образования, а именно способствует формированию универсальных учебных действий учащихся.

Познавательные:

— осуществление расширенного поиска информации с использованием ресурсов Интернета, библиотек, собственного опыта;

Личностные:

— потребность в самовыражении и самореализации, социальном признании;

— умение вести диалог на основе равноправных отношений уважения и принятия;

Регулятивные:

— целеполагание, включая постановку новых целей

— установка приоритетов

Коммуникативные:

— установление и сравнение различных точек зрения перед принятием решения, формулировка вывода.

Этапы работы:

I. Биография Диофанта. 10-я проблема Гильберта

II. Решение уравнений в целых числах

1. Применение теории делимости к решению неопределенных

   уравнений в целых числах

2.Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение

3. Решение уравнений методом разложения на множители

4. Выражение одной переменной через другую  и выделение

целой части дроби

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных

7. Оценка выражений, входящих в уравнение

8. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными

III.  Решение уравнений в целых числах из математических олимпиад

IV. Решение уравнений в целых числах из Единого государственного  экзамена (задания С6)

V. Заключение

VI. Литература

Основая часть.

1.Историческая справка.

Диофант( вероятно 3 в. н.э. – древнегреческий математик из Александрии)

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых отыскиваются целые или рациональные решения.

  Эти уравнения названы по имени Диофанта ( вероятно 3 в. н.э. – древнегреческий математик из Александрии), изучавшего такие уравнения.

 Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам неизвестно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным – и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года.

  Наиболее загадочным  представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в “Арифметику”, стиль и содержание этих книг резко отличается от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по “Началам” Евклида, его “Данным”, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. “Арифметика”, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.  Число неизвестных диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, и поэтому иногда их называют неопределенными.

  Диофантовы уравнения впервые обстоятельно исследовались в книге Диофанта “Арифметика”. Такие уравнения имеют некоторые особенности:

1. Они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами.
2. Требуется найти только целые, часто натуральные решения.

2. Определение,  виды диофантовых уравнений и способы их решений.

Итак, диофантовым уравнением для целочисленных переменных х1 ,  х2, …, хn  называется уравнение, которое может быть приведено к виду

P(x1, x2, …, xn)=0

 Где Р - некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами.

 Простейшим диофантовым уравнением является уравнение вида ax+by=c, где a  и b – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное число решений: если x0 и y0 – одно решение, то числа x= x0+bn и y= y0-an ( где n- любое целое число) также будут решениями, которыми исчерпывается вся совокупность решений.

Виды диофантовых уравнений:

1.Однородные уравнения:

Пример 1:

  Итак, я предлагаю рассмотреть решение следующего уравнения:

8x+9y=43

Так как 8 и 9 взаимно простые числа, т. е. наибольший общий делитель 8 и 9 равен 1 то решение существует. Одно из решений найдем подбором:

 x0=2, y0=3. Остальные решения вычисляются по формулам:

x= x0+bn 

 y= y0-an

Отсюда х=2+9n, y=3-8n, n принадлежит Z.

        Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, а свободный член с не делится на d, то уравнение ах + by = c не имеет решений в целых числах.

Пример 2:

А теперь рассмотрим линейное диофантово уравнение, которое не имеет целых решений:

5x+35y=17

Для доказательства того, что это уравнение не имеет целых решений, необходимо вынести за скобки общий множитель 5, получим 5(x+7y)=17. Тогда левая часть уравнения делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

    Любое уравнение ах + by = с, где НОД(а, b) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.

Задача 1:

 К диофантовому уравнению приводит и такая задача:

На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Сколько купили открыток?

Давайте обозначим число открыток через х, а число конвертов через y, то задача сводится к уравнению 11x +13y=61.  Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны лишь целые положительные числа. Методом подбора найдем такие числа. Данное уравнение имеет только одно такое решение: x=2, y=3.

Еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно соизмеримыми сторонами. Соизмеримость сторон означает, что найдется такой масштаб, в котором катеты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами x и y, но тогда:

x^2+y^2=z^2.

 Таким образом, вавилонская задача сводится к задаче построения всех троек натуральных чисел x, y, z удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорейцы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Так или иначе, решения (x, y, z) уравнения  x^2+y^2=z^2  принято называть пифагоровыми тройками: x=2n+1; y=2n(n+1); z=2n^2+2n+1, n принадлежит Z. Примеры пифагорейских троек: 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13.

 Однако эти формулы не дают возможности найти все пифагорейские тройки чисел, имеющие выбранное исходное число. Формулы Пифагора и Платона и их различные модификации дают только частные решения. Приведем еще примеры пифагорейских троек чисел, которые нельзя получить по указанным формулам: 72, 65, 97; 72, 320, 328.

 Эти и другие пифагорейские тройки чисел дает вавилонская клинописная табличка, относимая к эпохе 1900-1600 гг. до н.э. Метод вавилонян дает возможность найти все пифагорейские тройки, содержащие выбранные исходные числа.

Известный в теории диофантовых уравнений является проблема Ферма ( Пьер Ферма ( 1601-11665) – французский математик). Эта проблема носит название великой теоремы Ферма.

 Теорема:

  Для любого натурального числа n>2 уравнение x^n+y^n=z^n не имеет решений в целых положительных числах x, y, z.

 Она была сформулирована Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта “Арифметика”. Общее доказательство получил английский математик Уайлс в 1995 году.

2уравнения второй степени:

Следующим типом диофантовых уравнений являются уравнения второй степени  ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0, где a, b, c, d, e, f – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений, например, уравнение Пелля ( Джон Пелль: 1620-1685- английский математик): x^2-Ay^2=1( A>0, A- неполный квадрат).

Пример 3, 4 , 5, 6:

Я предлагаю вам решить 4 уравнения:

1. x(x + y)=11
2. x(x – 3y)=2
3. (x + 2y)(2x – y)= -2
4. xy - 3y + x =5

 Итак, попробуем найти решение для первого уравнения:

 Так как число 11 имеет делители только 1 и 11, то возможны следующие сочетания сомножителей:

1. x=1,

x + y=11

            Тогда x=1, y=10.

2. x=11,

x + y=1

            Тогда x=11, y= -10

3. x= -1,

x + y= -11

            Тогда x= -1, y= -10

4. x= -11

x = y= -1

            Тогда x= -11, y= 10

Ответ запишем в следующем виде: (1;10), (11;-10), (-1;-10), (-11;10).

 Задачу №2 я предлагаю решить аналогичным способом, при помощи 4 систем.

1.      х=2,

         х – 3у=1

       Тогда  х=2, у=1/3 (т.е. система не имеет решения в целых числах).

 2.     х=1,

         х – 3у=2

        Тогда  х=1, у=-1/3 (т.е. система не имеет решения в целых числах).

3.      х=-1,

         х – 3у=-2

         Тогда  х=-1, у=1/3 (т.е. система не имеет решения в целых числах).

4.      х=-2,

         х  - 3у=-1

          Тогда х=-2, у=-1/3 (т.е. система не имеет решения в целых числах).

Из этих пар чисел видно, что уравнение не имеет решений в целых числах.

 Задачу № 3 тоже можно решить при помощи 4 систем. Решив системы, получим следующие пары чисел: ( 0;-1), (0;1), (y=4/5), (y= -4/5)

Последние две системы не имеют целых решений, следовательно, ответ: (0;-1),(0;1).

 Последнее уравнение не похоже на 3 предыдущих.

Преобразуем заданное уравнение (вынесем за скобки y и вычтем и прибавим число 3):

  y(x – 3) + x – 3=5 -3 ;

 В результате преобразований получаем уравнение:

( x – 3)(y + 1)=2

 Так как число 2 может быть представлено 4 способами в виде произведения целых чисел 2= (-2) * (-1); 2=( -1) * ( -2); 2=1 * 2; 2= 2*1, то возможны четыре системы. Из них получаем четыре пары чисел (1; -2), (2; -3), ( 4;1), (5;0).  Ответом этого уравнения будут являться все 4 пары.

 Пример 7:

 9x^2 – y^2= 14

Запишем данное уравнение в виде (3x – y) * (3x + y)=14. Так как число 14  с учетом порядка следования множителей может быть представлено в виде произведения целых чисел следующим образом: 14=( -2) * (-7); 14=( -7) *(-2);  14=( -1) * ( - 14); 14= (-14) * (-1); 14= 2 * 7; 14= 7 * 2; 14= 1* 14; 14= 14* 1, то будет 8 случаев.

Решив все 8 систем, мы получаем дробные значения, а значит, что это уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 8:

3x^2 + 5xy + 2y^2=7

Разложим левую часть заданного уравнения на линейные множители: Уравнение примет вид: (3x + 2y)(x + y)=7

Так как 7 число простое, то оно равно произведению двух целых чисел в четырех случаях. Решив все 4 системы, получим пары чисел (-5;4), (5; -4), ( -13;20), ( 13;-20). Эти числа и будут ответом.

 Пример 9:

x^2 + y^2 – 2x + 4y=-5

В левой части уравнения выделим полный квадрат:

x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4=0

(x – 1)^2 + (y + 2)^2=0

Сумма квадратов равна 0 лишь в одном случае  

       ( x – 1)^2=0,

       (y + 2)^2=0

Решив систему, получим, что x= 1, y= -2

Ответ: ( 1; -2).

Пример 10:

x^2 – 6x + y^2 + 6y + 18=0

Докажем, что это уравнение имеет единственное целочисленное решение.

В левой части уравнения выделим полные квадраты :

( x – 3 )^2 + ( y + 3 )^2=0

 Данное уравнение имеет решение, когда

      x – 3=0,

      y + 3=0

 Т. е. при x=3, y= -3.

 Теперь я предлагаю рассмотреть графический метод решения диофантовых уравнений.

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0:

1. Придать переменной х конкретное значение х= х1; найти из уравнения ах1 + by + c = 0 соответствующее значение y=y1.
2. Придать переменной х другое значение х=х2; найти из уравнения ах2 + by + c = 0 соответствующее значение y=y2.
3. Построить на координатной плоскости хOy две точки (х1;у1) и (х2;у2).
4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах + by + с = 0.

  Пример 11:

Так, например, уравнение 5x + 7y=17 можно решить графическим методом, изобразив прямую 5x + 7y= 17, и определив на этой прямой точки, обе координаты которых будут в данном случае натуральными числами.

Целые решения: (2;1),( 9;-4), ( 16;-9),(-5;6),(-12;11)

3.   Диофантовы уравнения  в заданиях С5 ЕГЭ.

  Пример12:

Необходимо найти все пары (х, у) целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

      x^2 + y^2 < 18x – 20y – 166,        (1)

      32x – y^2 > x62 + 12y + 271.       (2)

Рассмотрим на координатной плоскости области, которые описываются заданными неравенствами. А затем выберем в них лишь точки с целочисленными координатам х, у.

Получаем два случая:

1) Неравенство (1) путем выделения полных квадратов сводится к условию

 (x^2 – 18x + 81) + (y^2 + 20y + 100) < 15, или (x – 9)^2 + ( y + 10)^2 < √15

Т.е. описывает внутренность круга с центром А(9; -10) и радиусом R1=√15.

2) Неравенство (2) сводится к виду

   (x – 16)^2 + (y + 6)^2 < (√21)^2,

Т.е. описывает внутренность круга с центром В(16; -6) и радиусом R2=√21.

  Единственной точкой, принадлежащей одновременно двум кругам, будет точка М( 12; -8). Это выясняется подстановкой в систему числовых значений координат всех узлов квадратной сетки, соседних с точкой М.

 Ответ: (12; -8).

Пример 13:

Решение:

   Решением данного неравенства является область, ограниченная окружностью радиусом 2  с центром в точке O(1;-2)

Пусть искомое значение , тогда  

Угловой коэффициент равен -1,  – значение координаты y при x=0.

Треугольник ABC прямоугольный. Чтобы найти c, достаточно найти ординату точки B. Для  этого найдем координаты точек A и B. Зная, что точки лежат на прямой с точкой O(1;-2), т. е. на прямой , и на окружности  , решим систему  

A()                C( ;)

Согласно рисунку  ;

B(;)

Ответ:

4.Практическое применение теории  диофантовых уравнений.

Неожиданно, лет 20-30 назад, было осознано, что эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии, чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т.п. Теория эта оказалась востребована на практике. Яркий пример: в девяностые годы, когда математикам есть было нечего, многие уехали за границу, но многие и остались здесь, и некоторые математики из провинциальных институтов успешно сотрудничали с банками. Банкиры обратились к ним с просьбой помочь в переводе денег из дальних регионов в Москву. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки.

Знаменитый мост Золотые Ворота был построен с применением диофантовых уравнений.

Мост Золотые Ворота