Задачи на сплавы и смеси
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9, 11 класс) по теме

Тема «Задачи на смеси, растворы и сплавы»

Учитель математики  МКОУ СОШ №6 г.Беслана

Слободская Елена Владимировна

Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на ОГЭ и  ЕГЭ, но умеют решать их, увы, не многие. 

В школьном курсе математики  очень мало внимания уделяется задачам на концентрацию, смеси и сплавы. Эти задачи вызывают  трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов. Необходимо иметь в виду, что в задачах такого  рода, предлагаемых на ЕГЭ по математике, никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не  происходит.

Цель данной работы – изучение методов решения таких задач, при помощи химической формулы, таблицы и системы уравнений с двумя неизвестными.

Алгоритм решения задач на сплавы:

1. Изучить условия задачи. Выбрать неизвестные величины (их обозначают буквами х, у и т.д.), относительно которых составить пропорции, этим, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.
2. Используя условия задачи, определить все взаимосвязи между данными величинами.
3. Составить математическую модель задачи и решить ее.
4. Изучить полученное решение, провести критический анализ результата.

Рассматривая задачи на составление уравнений, остановимся, прежде всего, на задачах, решение которых связано с использованием понятий “концентрация” и “процентное содержание”. Обычно в условиях таких задач речь идет о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ.

Смесь состоит из  «чистого вещества» и  «примеси». «Чистое вещество» определяется в каждой  задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие  смесь, относятся к «примеси».

Концентрация  данного вещества в смеси – это отношение количества чистого вещества в смеси  к общему количеству смеси, если они измерены одной  и той же  единицей массы.

Процентное  содержание чистого вещества в смеси называют его долю, выраженную в процентном отношении.

А сейчас приведу примеры раствора, смеси и сплава.

Раствор.  В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:

Процентное содержание воды:

Смесь. У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:

Процентное содержание извести:

Сплав. Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах:

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  — масса сплава или раствора.

А теперь посмотрим как решать  задачи на практике.

Задача 1. В сосуд, содержащий 4 литров 12%-ого раствора соли, добавили 8 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

Решение.

Нарисуем таблицу и заполним ее:
1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.
Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.

2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:
                              0,12*4  = 0,48

3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:

                 Х =  

Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 4 %.

Задача 2.    Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 21-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

 Решение.

По условию составим таблицу, считая, что х - некоторое  равное количество 1 и 2-го раствора

1. Масса вещества в первом растворе : 0,15*х

2. Масса вещества во втором растворе: 0,21 * х

3. Масса полученного  раствора  2х ;

4. Отношение общей массы вещества к общей массе полученного раствора

Ответ: концентрация получившегося раствора 18%

Задача 3.  -  Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения  50 килограммов изюма?

Решение:

1. 50*0,95 = 47,5(кг) – сухого вещества в изюме

47,5 кг сухого в-ва составляет  10% всего винограда

2. 47,5 : 0,1= 475 (кг) – винограда надо взять

Ответ: 475 кг. винограда надо взять

-  Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Запишем данные в таблицу:

При сушке грибов (ягод, фруктов) происходит испарение воды, то есть масса воды уменьшается, а масса «мякоти» остается постоянной.

1. Процентное содержание «мякоти» в свежих грибах 100% — 90% = 10%;

2. Масса «мякоти»

3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% — 15% = 85%;

4. Обозначим массу сушеных грибов за х кг;

5. Отношение массы «мякоти» к массе сушеных грибов 3,4 / х, что по условию задачи равно 0,85.

Имеем уравнение

Ответ: Получим 4 кг. сухих грибов.

Задача 4   

1. Смешав 91-процентный и 93-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 55-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 91-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Решив систему уравнений, имеем

Х = 17,5

Ответ : 17,5 кг

2.Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть х кг- количество 24-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 67-процентного раствора кислоты.

Задача будет решаться с помощью системы уравнений с двумя неизвестными.

Заполним две таблицы.

Учитывая, что 1 действие+2 действие+3 действие=4результат, составим первое уравнение системы:

0,24х+0,67у+0=0,41х+0,41у+4,1

Выполним преобразования:

0,24х+0,67у-0,41х-0,41у=4,1

-0,17х+0,26у=4,1

Заполним вторую таблицу:

Составим второе уравнение системы:

0,24х+0,67у+5=0,45х+0,45у+4,5

Выполним преобразования:

0,24х+0,67у-0,45х-0,45у=4,5-5

-0,21х+0,22у=-0,5

Составим систему уравнений и решим способом алгебраического сложения:

     -0,17х+0,26у=4,1|∙2100

       -0,21х+0,22у=-0,5|∙1700

      -357х+546у=8610,

      -357х+374у=-850;

Вычтем из первого уравнения второе:

172у=9469

У=55кг- количество 67-процентного раствора кислоты.

Х=60кг- количество 24-процентного раствора кислоты.

Ответ: 60

3. Смешав 38-процентный и 52-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46- процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 38-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть х кг- количество 38-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 52-процентного раствора кислоты.

Первое уравнение:

0,38х+0,52у+0=0,36х+0,36у+3,6

Второе уравнение:

0,38х+0,52у+5=0,46х+0,46у+4,6

Преобразуем каждое уравнение и составим систему:

  0,02х+0,16у=3,6|∙4

  -0,08х+0,06у=-0,4;

у=20кг- количество 52-процентного раствора кислоты.

х=20кг- количество 38-процентного раствора кислоты.

Ответ:20

5. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды, получил 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение :

Пусть х кг- количество 43-процентного раствора кислоты, тогда у кг- количество 89-процентного раствора кислоты.

Первое уравнение:

0,43х+0,89у+0=0,69х+0,69у+6,9

Второе уравнение:

0,43х+0,89у+5=0,73х+0,73у+7,3

Проведем преобразования и составим систему:

  -0,26х+0,2у=6,9|∙0,8

  -0,3х+0,16у=2,3.

х=35кг-количество 43-процентного раствора кислоты.

Ответ:35

Задача 5

1. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Получим систему уравнений

Ответ: 18

2.Имеется два сосуда. Первый содержит 75кг, а второй -30кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 58% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

Составим систему:

  0,75х+0,3у=54,6,

  0,1х+0,1у=1,16/ *3

Вычтем из первого уравнения второе:

0,45х=19,8

х=44

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,75∙44=33кг.

Ответ:33.

3. Имеется два сосуда. Первый содержит 40кг, а второй -25кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 25% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 31% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

Составим систему:

  0,4х+0,25у=16,25,

  0,25х+0,25у=15,5;

0,15х=0,75

х=5

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,4∙5=2кг.

Ответ:2.

4. Имеется два сосуда. Первый содержит 50кг, а второй -25кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 56% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Пусть х- процентная доля кислоты в первом сосуде, тогда у- процентная доля кислоты во втором сосуде.

Первое уравнение:

0,5х+0,25у=34,5

Второе уравнение:

0,25х+0,25у=28

Составим систему:

  0,5х+0,25у=34,5,

  0,25х+0,25у=28;

0,25х=6,5

х=26

Найдем количество чистого вещества в первом сосуде: 0,5∙26=13кг.

Ответ:13.

Задача 6

1.Имеются два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй -  30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг.

Зная, что масса третьего сплава ( сумма первого и второго ) равна 100 кг, составим первое уравнение системы: х+у =100

Теперь заполним таблицу, чтобы составит второе уравнение системы:

Первый содержит 5% никеля,

второй -  30% никеля.        

Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 100 кг, содержащий 20% никеля.

Учитывая, что 1 действие+2 действие=3 результат, составим второе уравнение системы:

0,05х+0,3у=20.

Составим систему уравнений с двумя неизвестными и решим способом подстановки.

    х+у =100,

    0,05х+0,3у=20;

х=100-у

0,05∙(100-у)+0,3у=20

5-0,05у+0,3у=20

0,25у=15

у=60 кг - масса второго сплава.

х=100-60

х=40кг  – масса первого сплава.

Вопрос: На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

60 – 40 = 20кг.

Ответ: 20                

2. Имеются два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй -  35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг. Первое уравнение системы: х+у =225

Заполним таблицу:

Второе уравнение системы:

0,1х+0,35у=67,5

Составим систему и решим способом подстановки:

    х+у =225,

    0,1х+0,35у=67,5;

у=180; х=45

Ответ: 135.

3. Имеются два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй -  30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава – х кг, тогда второго у кг. Первое уравнение системы: х+у =225

Заполним таблицу:

Второе уравнение системы:

0,05х+0,3у=45

Составим систему и решим способом подстановки:

    х+у =225,

    0,05х+0,3у=45;

у=135; х=90.

Ответ: 45