Понятие функции. Область определения и область значений функции. Возрастание и убывание. Наибольшее и наименьшее значение. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
план-конспект занятия по алгебре (9 класс) на тему

Тема: Понятие функции. Область определения и область значений функции. Возрастание и убывание. Наибольшее и наименьшее значение. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.

ФИО педагога: Чайдонов Владимир Александрович

Место работы: МБУ ДО АРЦДО

Должность: педагог дополнительного образования

Класс: 9

Цель занятия: организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Задачи занятия:

- расширить понятие о числовых функциях путем введения области определения функции;

- формировать навыки нахождения области определения функции;

- развивать мышление через обучение анализировать, сравнивать, строить аналогии;

формировать исследовательские умения, функционально-графическую и математическую культуру;

Ход занятия

1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материал.

Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Геометрически область определения – это проекция графика функции на ось х.

- области определения функции.

Область значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

Геометрически – это проекция графика функции на ось у.

- области значения функции.

Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.

Геометрически нули – это абсциссы точек пересечения графика функции с осью х.

Пример: у = х2 + х – 2,  нули:  х1 = 1,  х2 = -2;
                 у = х2 + х +2,  нулей нет.

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция сохраняет знак.

Геометрически – это интервалы оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (или ниже) этой оси.

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Геометрически – около точек экстремума график функции выгибается, как горб, направленный вверх или вниз. 
Обычно точки экстремума разделяют промежутки монотонности.

Промежутки монотонности – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает.

Геометрически – это интервалы оси х, где график функции идет вверх или вниз.

Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

Геометрически – это ординаты самой высокой и самой низкой точек графика.

3. Устная работа.

1. На  рисунке, изображен  график  функций  на  отрезке [–4; 4]. Найдите:

а) область определения функции;

б) нули функции;

в) промежутки, в которых значения функции положительны, и промежутки, в которых значения функции отрицательны;

г) наибольшее и наименьшее значения функции;

д) промежутки, в которых функция возрастает, и промежутки, в которых функция убывает.

2. Постройте график какой-либо функции y = f (x) такой, что:

а) область определения функции – отрезок [–2; 3], наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно –1;

б) функция возрастает при х ≤ 2, убывает при х ≥ 2, а ее нулями являются числа 3 и –1;

в) область определения функции – отрезок [0; 4], наибольшее значение равно 5, а наименьшее равно 1, и функция является возрастающей на всей области определения;

г) функция положительна на промежутке [–4; 1), отрицательна на промежутке (1; 3], убывает на отрезке [–4; 2] и возрастает на отрезке [2; 3];

д) функция  возрастает  при  х ≤ 3  и  при  х ≥ 5;  убывает  при  3 ≤ х ≤ 5; f (3) = 2, f (5) = –1

4. Проверочная работа.

Вариант I

1. На рисунке 2 изображен график функции y = f (x) на отрезке [–5; 3]. Ответьте на следующие  вопросы:

Рис.2

а) Есть ли у функции наибольшее и наименьшее значения; если есть, то чему они равны?

б) Укажите нули функции.

в) Укажите промежутки, на которых функция возрастает.

г) Укажите промежутки, на которых функция убывает.

2*. Постройте график какой-нибудь функции, определенной на всей числовой оси, возрастающей при х ≤ 2, убывающей при х ≥ 2, имеющей наибольшее значение, равное 3, и один нуль.

4. Формирование умений и навыков.

1. Для нахождения нулей функций нужно решить соответствующие уравнения.

а)  

б)  

2. Очевидно,  что  самым  простым  примером  может  служить  функция  y = (x + 3)(x – 1)(x – 7). Однако нужно стремиться, чтобы учащиеся придумали как можно больше разнообразных функций, обладающих данным свойством. Например:

y = 2(x + 3)(x – 1)(x – 7);

y = –9(x + 3)(x – 1)(x – 7);

y = (x2 + 1)(x + 3)(x – 1)(x – 7);

y = (–x2 – 2)(x + 3)(x – 1)(x – 7).

3. После нахождения нулей функций можно отбросить первую из них – функцию f (x).

Для остальных трех надо найти точку пересечения графиков с осью у. Для этого нужно выполнить раскрытие скобок и найти свободный член. Во второй формуле свободный член будет отрицательным, то есть ордината точки пересечения графика функции g (x) меньше нуля, а на данном графике она больше нуля.

Находим,  что функция h (x) пересекает ось у в точке (0; 14), а функция p (x) – в точке (0; 7). Значит, на рисунке изображен график функции h (x).

4. Построим график функции:

Получим следующий график:

5. Итоги занятия.

Вопросы учащимся:

– Какие свойства функции можно найти по ее графику?

– Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

– Как по графику найти нули функции?

– Как по графику найти промежутки, в которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения?

– Как по графику определить промежутки, в которых функция возрастает; убывает?

– Как найти нули функции по ее графику?

– Как найти нули функции, зная формулу, задающую эту функцию?

– Как  по  графику  найти  промежутки  возрастания  и  убывания  функции?

Полезно также при подведении итогов предложить учащимся выполнить задание.

Задание. Определить, можно ли начертить график функции такой, что:

а) она возрастает на всей числовой оси и имеет два нуля;

б) убывает на всей числовой оси и все ее значения положительны;

в) функция возрастает на промежутке [0; 5] и принимает положительные значения на промежутке [0; 3) и отрицательные на промежутке (3; 5].

Если да, то приведите примеры; если нет, то объясните почему.