Презентация " Тригонометрические подстановки при решении уравнений"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ. ПОДГОТОВИЛА УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ МКОУ « КОРЕНЕВСКАЯ СОШ №2» МАКАРОВА Л.И.

Слайд 2

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Слайд 3

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством | x |≤1 , то удобны замены x= cos  или x= sin  . В первом случае достаточно рассмотреть   [-  /2;  /2] , так как на этом промежутке непрерывная функция y= sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.

Слайд 4

Непрерывная функция y= cos x убывает на промежутке [0;  ] , поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены x= cos  , достаточно взять   [0;  ] .

Слайд 5

В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены x= tg  ,   (  /2;  /2) или x= ctg  ,   (0;  ) , так как область значения функции y= tg x и y= ctg x на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.

Слайд 6

Когда выражение зависит от двух переменных x и y , целесообразно положить x=r sin  , y=r cos  , где r  R , r  0 . Такая замена законна. Действительно, для любых x и y существует такое r  0 , что x 2 +y 2 =r 2 . При r  0 имеем

Слайд 7

А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла . Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки (x;y) определяется расстояние r до начала координат и угол  наклона вектора (x;y) к положительному направлению оси абсцисс.

Слайд 8

ТЕПЕРЬ РЕШИМ НЕСКОЛЬКО УРАВНЕНИЙ.

Слайд 9

ПРИМЕР 1. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Конечно, данный пример можно разрешить, возведя в квадрат, не забыв про условие. Но тогда получится уравнение шестой степени, которое решается не совсем просто. Решение задач Пример 1

Слайд 10

Легче сделать так: Пусть x= cos  ,  ∈[0;  ] , тогда Решение задач Пример 1 Лишь три корня удовлетворяют условию 0     :

Слайд 11

Решение задач Пример 1

Слайд 12

ПРИМЕР 2 . РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Перепишем пример в таком виде: Решение задач Пример 2 Пример 1

Слайд 13

Решение задач Пример 2 С учетом замены уравнение принимает такой вид:

Слайд 14

Решение задач Пример 2 Используем формулу разности синусов:

Слайд 15

Решение задач Пример 2 Учитывая, что  [0;  ] , получаем

Слайд 16

ПРИМЕР 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Поделим все члены уравнения на 2 . Уравнение примет вид Решение задач Пример 3 Пример 2

Слайд 17

Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть |x| >1 , тогда | 4x 2  3 |>1 , | x(4x 2  3) |>1 . Получили, что при | x |>1 левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно. Решение задач Пример 3

Слайд 18

Положим x= cos  ,   [0;  ] . Уравнение примет вид Решение задач Пример 3

Слайд 19

Условию   [0;  ] удовлетворяют три значения Решение задач Пример 3

Слайд 20

Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения. Решение задач Пример 3

Слайд 21

ПРИМЕР 4. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ Пусть x=t+1 , тогда уравнение перепишется в виде Решение задач Пример 4 Введем замену Пример 3

Слайд 22

Это уравнение мы уже решали. Его корни Решение задач Пример 4 Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только

Слайд 23

Перейдем к переменной t , а затем к переменной x Решение задач Пример 4

Слайд 24

ПРИМЕР 5 . ПРИ КАКИХ А НЕРАВЕНСТВО ИМЕЕТ РЕШЕНИЕ. x=y= 0 не является решением неравенства, поэтому поделим обе части неравенства на x 2 +y 2 . Решение задач Пример 5 Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения Пример 4

Слайд 25

Положим x=r cos  , y=r sin  ,   [0;  ] , тогда Решение задач Пример 5

Слайд 26

Оценим выражение Решение задач Пример 5 Наименьшее значение выражения равно  4,5 . Значит, при a >  4,5 неравенство имеет решение. Ответ: a >  4,5

Слайд 27

Спасибо за внимание!